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(r) de la surface (2), et abaissons du centre C de la sphère (S) la perpen- 
diculaire sur ce plan, perpendiculaire qui rencontrera la sphère en un 
point M; soit M' l'inverse du point M. Le plan (r'}, perpendiculaire à CM’ 
et passant par l'intersection du plan (x) avec le plan fixe (P), enveloppera 
une surface (Z'), dont la représentation sphérique sera fournie par les lignes 
orthogonales inverses de celles qui servent de représentation à (3). 
» Nous retrouvons ainsi, et nous donnons le moyen de réaliser géomé- 
triquement cette méthode de transformation des surfaces avec conservation 
des lignes de courbure, dans laquelle à un plan correspond un plan, et qui 
a été étudiée plus particulièrement par M. Laguerre, sous le nom de 
transformation par directions réciproques; et nous voyons de plus que cette 
méthode nous permettra, toutes les fois que le problème de la représen- 
tation sphérique aura été résolu pour un système de lignes, d’en donner la 
solution pour tous les systèmes orthogonaux que l’on peut en déduire par 
une inversion. Par exemple, si l’on cherche les surfaces à lignes de cour- 
bure planes dans les deux systèmes, surfaces qui ont pour représentation 
sphérique un double système de cercles orthogonaux, on pourra se borner 
au cas où ce double système de cercles serait formé des méridiens et des 
parallèles (je fais abstraction du cas relativement facile, et que je considé- 
rerai plus loin, où les cercles d’une même série sont tangents les uns aux 
autres en un point fixe). Alors les lignes de courbure de l’un des systèmes 
seront dans des plans parallèles, et l’on aura la surface connue, si comple- 
lement étudiée dans l’Ouvrage classique de Monge. 
» Aux surfaces du second degré, qui ont pour représentation sphérique 
un système d’ellipses et d’hyperboles homofocales, correspondront les sur- 
de quatrième classe corrélatives des cyclides, qui auront pour repré- 
sentation sphérique un système orthogonal formé de lignes du quatrième 
ordre, inverses des ellipses et des byperboles homofocales,. 
» Dans un grand nombre de recherches, il y a le plus grand avantage à 
généraliser la méthode ordinaire de représentation sphérique, en s'ap- 
Puyant sur le théorème suivant : | 
» Considérons une sphère variable (U), assujettie à toucher à la fois une sur- 
€ (2) et une sphère (S). Quand le point de contact de (U) et de (Z) décrit 
dés ligne de courbure, le point de contact de (U) et de (S) décrit une ligne sphé- 
rique qui correspond à la ligne de courbure. Cela posé, les lignes sphériques qui 
correspondent aux déux systèmes de lignes de courbure se coupent mutuellement 
à angle droit. 
» Ce mode de représentation comprend celui que l’on emploie ordi- 
