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révélé des irrégularités singulières tant dans les signes des coefficients que 
dans leur valeur numérique. 
» Il semble donc de quelque intérêt d'étudier quelles sont les propriétés 
élémentaires des équations algébriques qui s'appliquent aux équations 
transcendantes; et à cet égard je distinguerai les fonctions transcendantes 
holomorphes, dont les facteurs primaires sont de la forme e( t— z) et dont 
le type général est 
ee (i E z). 
a 
Pour abréger, je les appellerai transcendantes du genre un, les transcen- 
dantes du genre zéro étant celles dont les facteurs primaires ne renferment 
pas d'exponentielle. 
» 2. Cela posé, en désignant par F(x) une transcendante du premier 
genre et en me bornant au cas où l'équation F(x)= o a toutes ses racines 
réelles, j'énoncerai les propositions suivantes : 
» Toutes les dérivées de F(x) sont également des transcendantes du premier 
genre et les équations F'(x) =o, F'(x)=0o, ... ont toules leurs racines 
réelles (+). 
» En désignant par œ une quantité réelle quelconque, si l’on pose 
F(x + oi) =U + iV, | 
l'équation XU + BV = o a, quelles que soient les quantités réelles à et p, 
toutes ses racines réelles. | e 
» En désignant par 4, + a, + áx? +... le développement de F(x), 
on a les inégalités 
2. > 3 #1 
> AR PRES. Pa 
n 
théorème déjà énoncé par Newton dans le cas où F(x) est un polynôme 
entier, 
» En appliquant cette dernière proposition à la transcendante G(x) et 
en désignant par a,,a,, ..., a, les valeurs absolues des coefficients de son 
Pi M. Hermite avait déjà démontré [Sur l'intégrale eulérienne de deuxieme espèce 
: sa de Borchardt, t, 90)] que G’ (x)= o a toutes ses racines réelles, et sa démonstra- 
tion, qui s'appuie sur la méthode de Plana, s'étend d’elle-même au cas d’une transcen- 
te] quelconque du premier genre, À cette occasion, M. Hermite mwa dit tenir de M. Ge- 
“occhi que la méthode généralement attribuée à Plana appartient en réalité à F. Chio: 
