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MÉCANIQUE. — Nouvelle manière d'employer le principe de la moindre action, 
dans les questions de Dynamique. Note de M. E. BRassinnE. 
« Le principe de la moindre action, exprimé par les relations équiva- 
lentes 
ò | myds=0 ou d |mvw*°dt = 0, 
ne correspond pas toujours à une simple question de minimum. Si, par 
exemple, une longueur invariable s est parcourue uniformément, dans un 
temps ź, avec une vitesse v, il en résultera l'égalité vt = s; la variation du 
premier membre sera nulle, ce qui signifiera que le produit s peut être 
formé de plusieurs manières par deux facteurs différents. Les relations gé- 
nérales ci-dessus, dans lesquelles deux éléments des intégrales sont varia- 
bles, ont un sens analogue. Une question particulière le fera com- 
prendre. 
» Un point pesant m descend sur une courbe située dans un plan ver- 
tical, et il en parcourt une longueur s terminée par deux points fixes A, B; 
par le premier, on mène une verticale h, qui coupe un plan horizontal 
mené, par le point B, à l’origine des ordonnées æ. Quelle que soit la 
courbe, le point m, dont l’ordonnée est x et qui, par conséquent, est des- 
cendu au-dessous de A d’une hauteur À — æ — z, aura une vitesse V283, 
et sa force vive acquise lorsque x = o sera mgh. 
» On voit aisément que le minimum indiqué par la relation générale 
d f mv?’dt — o ne peut provenir que du temps pendant lequel se développe 
x force vive mgh. Mais cette considération ne fait pas connaitre la nature 
mn ligne qui remplit les conditions nécessaires. On y parvient par la 
ransformation suivante (en faisant m = 1): 
(1) à ds = à {vs — f'dv.s) =0, Ô vrst = d(v%.6— favdv.t) — 0. 
rs 1? £ ` [a . . > 1 
$ Si l'on égale à zéro des variations des termes en dehors du signe d'in- 
tion, on trouvera 
(a) 
AO ae donner les valeurs de s, t en fonction de v ou de z, et réduire 
ermes des expressions (1) qui ont conservé au second membre les 
dv.s+yds—0o, dw.t+v.d—0, 
