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où $(æ,7) est une fonction rationnelle des variables x et y, la variable y 
étant liée à æ par une équation algébrique F(x,) = 0, de degré m et de 
genre p. J'indique le moyen de reconnaitre si une équation telle que (1) 
admet une intégrale de la forme 
(2) + Z = Ahnen 
où p(x, y) est une fonction rationnelle de x et Y, et de trouver cette inté- 
grale si elle existe. Je suis ainsi conduit à l'intégration d’une classe étendue 
d'équations différentielles linéaires qui comprend, comme cas particuliers, 
certaines équations du second ordre considérées par M. Fuchs (Journal de 
Mathématiques pures et appliquées, 3° série, t. IV, p.136). La méthode em- 
ployée repose sur la décomposition d’une fonction rationnelle de x et y 
en éléments simples, d’après la formule donnée par Roch (Journal de Crelle, 
t. 84; Lettre de M. Lindemann à M. Hermite). 
» Lorsque p = o, l'équation (1) se ramène facilement à une équation à 
coefficients rationnels de la même forme 
{ d'z p, 
(3) Te f(t) 2, 
J(t) étant rationnel en z, et, si l'équation (1) admet une intégrale de la 
forme (2), l'équation (3) admet une intégrale de la forme 
4) x k 2— ef) de 
a(t) étant rationnel en t; et réciproquement. 
a Lorsque p=1;, l'équation (1) se ramène de la même façon à une 
équation à coefficients uniformes doublement périodiques de la forme 
5 ; de 
) ge = P(t).3, 
où (4) est une fonction doublement périodique de #; si l'équation (1) 
admet une intégrale de la forme (2), l'équation (5) admet une intégrale 
de la forme suivante, | ; 
(O Snia] = gride 
z(e) désignant ype fonction doublement périodique de £ aux mêmes pé- 
riodes que (4) ; et réciproquement. | 
à Je traite directement ces deux cas de p = 0, p = 1, en supposant les 
“qMations différentielles sous les formes (3) ou (5). Dans le cas de p = 1, 
