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j'arrive ainsi à intégrer une classe nouvelle d'équations différentielles 
linéaires du second ordre à coefficients doublement périodiques, dans des 
cas où l'intégrale générale peut ne pas être uniforme et admettre des points 
singuliers essentiels. Dans cette classe d'équations rentre un cas particulier 
de l'équation de Lamé, que j'ai pris comme exemple de l'application d'une 
autre méthode (Comptes rendus, t. XCII, p. 1005). Je saisis cette occasion 
de faire remarquer que ce cas particulier de l’équation de Lamé avait été, 
à moninsu, considéré par M. Brioschi dans ses recherches si intéressantes 
sur les équations différentielles linéaires (voir Comptes rendus, t. LXXMI, 
p: 313, t. XCI, p. 317 et 807, et t. XCI, p. 325). 
» La méthode suivie à l'égard des équations (1), (3) et (5) s'applique 
aussi à des équations plus générales de la forme 
adz 
(7) ai = YAL, y )-2, 
le 
(8) T = f(t).2, 
ke 
(9) DE = d({).7, 
où les symboles (x, y), J (t), O(t) ont les mêmes significations que pré: 
cédemment. Cette méthode permet encore de voir si des équations de 
l'une des formes (7), (8) ou (9) admettent respectivement des intégrales 
de la forme (2), (4) ou (6) et de trouver ces intégralés si elles existent. 
» Je termine le Mémoire par la remarque générale suivante sur les équi 
tions différentielles linéaires à coefficients algébriques. 
» Soit 
ds 
dx"—? 
d'z dn-1 
(10) pr + g(x,y) zaa + Pa(X, Y) + + On(X,F)3=0 
une équation différentielle linéaire dont les coefficients (x, 7) sont de 
fonctions rationnelles de x et Y, la variable y étant liée à x par une éq" 
tion algébrique F(x, Y) =0 de genre p. St p=—0 où ph der Ai 
comme il est connu, ramener l'équation (10) à une autre équation pie 
dont les coefficients sont des fonctions uniformes de la variable ind 
dante, rationnelles dans le premier cas, doublement périodiques dans 
second, Si le genre p est plus grand que l’unité, on peut ramener line" 
tion de l'équation différentielle (10) à celle d’un système de P re 
différentielles linéaires simultanées aux dérivées partielles dont > i 
ficients sont des fonctions uniformes de p variables indépendant 
