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CALCUL INTÉGRAL. — Sur les intégrales asymptotes des équations différentielles, 
Note de M. J. Boussnxeso, présentée par M. de Saint-Venant. 
« Parmi les intégrales d’une équation différentielle x’ = f (t, x),il yalien 
de considérer spécialement celles que j'ai appelées asymptotes, ou qui sont 
telles, que, pour une valeur donnée quelconque de £ et pour toutes les ya: 
leurs, ou plus grandes, ou plus petites, la fonction x y diffère aussi peu qu'on 
veut de ce qu’elle est dans d’autres intégrales, très distinctes pourtant decelle: 
là, c’est-à-dire s’en écartant notablement pour les valeurs de £ qui sont, an 
contraire, ou plus petites ou plus grandes que la valeur donnée. L'inté: 
grale asymptote jalonne donc, sur tout son parcours, soit un lieu de réu- 
nion des intégrales particulières, qui viennent, les unes après les autrés, 
converger dans son voisinage sous la forme d’un faisceau étroit, soit, au 
contraire, un lieu de bifurcation ou de séparation des intégrales particu- 
lières, qui en divergent successivement : elle diffère de la solution singt- 
lière en ce que son raccordement avec les intégrales ordinaires ne se com- 
plète, en toute rigueur, que pour £—-+ œ ou — œ , non à des distances 
ou à des instants précis £; et elle se distingue des intégrales ordinaires en 
ce que, pour la valeur donnée de 4, elle présente des écarts inférieurs à 
toute quantité assignable avec des intégrales particulières qui s'en sont 
trouvées ou qui en seront sensiblement distantes, tandis que, pour Ja même 
valeur de ż, l'écart de chaque intégrale non-asymptote d’avec toute autre 
solution qui en a été ou qui en sera notablement distante ne descend pis 
au-dessous d’une certaine limite différente de zéro. Bref, la solution aspie 
ptote constitue le noyau, ou mieux, l'axe d’un faisceau d’intégrales, sa parti 
infiniment serrée, qui, comprenant les intégrales réunies depuis l'infini ou 
destinées à ne se séparer qu’à linfini, est absolument sans largeur :# 
contraire, les intégrales ordinaires voisines ne se rattachent an faisceau qui 
d'une manière moins étroite, si ce n’est à l'infini, et elles ne le suivent de 
près que sur une partie de son parcours. A 
» Soit, par exemple, l'équation x'= 1 — x?. Son intégrale général 
entre les limites x == 1, est x = tanghyp. (t — c), où il faut donner åf 
des valeurs équidistantes, si l’on veut avoir des solutions dont chacune" 
fère également de la précédente sur l’ensemble de son parcours. Pour U“ 
certaine valeur de ż, la différence entre les deux expressions de % ee 
respondront à deux valeurs consécutives c, c, de la constante. égale”! 
quotient de sinhyp.(c — C;) par coshyp. (t — c) coshyp.(é — Ci} quo" 
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