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qui s'annule seulement quand c = +, ou quand x = 1. Donc, les 
deux intégrales extrèmes x = 1 sont asymptotes, à l'exclusion de toutes 
les autres. P 
» En général, représentons par ọ(t, x)= c l'intégrale de l'équation 
proposée, et supposons le paramètre © assez bien choisi pour que deux 
solutions particulières différant notablement quelque part (ne fùt-ce mème 
que pour de très grandes valeurs absolues de £) correspondent toujours à 
deux valeurs, notablement différentes aussi, de ce paramètre c. Il est clair 
que, pour une valeur donnée quelconque de ź, c change alors infiniment 
vite à l'instant où, x variant, on traverse l’axe d’un faisceau d'intégrales : 
ce qui revient à dire que la dérivée de © par rapport à x, ou le facteur 
d'intégrabilité de l'équation différentielle, est infini sur tout le parcours 
d'un axe pareil. Ainsi, les intégrales asymptotes s’'obtiendront en égalant à 
linfini le facteur d’intégrabilité, procédé qui donne déjà, comme on sait, 
les solutions singulières, lieux des valeurs de x pour lesquelles, des inté- 
grales voisines se joignant, l'écart dx de celles-ci est infiniment moindre 
que partout ailleurs, ou infiniment moindre que n'est le changement cor- 
‘espondant dc du paramètre. Et la même règle s'étendra à un système quel- 
conque d'équations simultanées (qu’on peut concevoir ramené au premier 
ordre); car, si o(£, x, y, 3) — c désigne une intégrale générale d’un pareil 
système, aucune des fonctions de + appelées x, y, z ne pourra, en chan- 
geant aussi peu qu’on le voudra, entraîner une variation notable de c, que 
dans le cas où la dérivée correspondante ( facteur d’intégrabilité) de ọ en 17, 
y ou z dépassera toute grandeur finie. 
» Quoique ce procédé implique l’hypothèse de facteurs d’intégrabilité 
n'introduisant, par l'intégration, que des constantes sensiblement variables 
lors du passage d'une intégrale à une autre qui ne s'en écarte beaucoup 
que pour de très grandes valeurs absolues de {, néanmoins, il m’a conduit 
à toutes les solutions asymptotes des équations différentielles que j ’ai eu à 
considérer dans un Mémoire de 1877, imprimé au Recueil de la Société 
des Sciences de Lille (t. VI, 1879, p- 69 à 77 et poon à 98); et M. Poincaré a 
reconnu qu'il fournit aussi celles d’autres é entielles, étudiées 
par ce jeune et déjà éminent analyste. On pourra donc s’en servir, sous la 
réserve indiquée (et sauf à exclure par une discussion spéciale les solutions 
élrangéres qu’il lui arriverait parfois de donner), en attendant que l’on dé- 
couvre, si la chose est possible, une règle généralé tout à KES sûre ae 
atteindre le même but. 
» Quand il s’agit d'équations linéaires, aucune intégrale n'est asymptote 
G. R., 1882, P7 Semestre. (T. XCIV, No 6.) 
