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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la distribution, dans le plan, des racines d'une 
équation algébrique dont le premier membre satisfait à une équation différen- 
tielle linéaire du second ordre. Note de M. Laëuerke, présentée par 
M. Hermite. 
« 1. Il est important, dans un grand nombre de questions, de déter- 
miner, au moins approximativement, dans quelle région du plan sont situées 
les racines d’une équation algébrique. La méthode suivante peut être em- 
ployée utilement dans un grand nombre de cas, et notamment quand le 
premier membre de l'équation satisfait à une équation différentielle linéaire 
du second ordre. 
» Elle repose sur la proposition suivante, qui résulte immédiatement 
des théorèmes que j'ai donnés dans mes Notes sur la résolution des équations 
numériques. 
» Soit f(x) un polynôme du degré n, et 
2(n—1)f{x) 
Ja) 2 
supposons que l’une des racines de l’équation 
soit ë + ni, et désignons par M l’affixe de cette quantité; désignons de 
même par M’ l’affixe de la quantité X quand on y fait æ= ni. Cela posé, 
si par M on fait passer un cercle (ou une droite) tel que l'une des as 
du plan déterminées par ce cercle ne contienne aucune racine de l'eq 
tion (1), le point M’ est nécessairement dans l’autre région. sr 
..» Pour montrer, par un exemple simple, l'usage que l'on peut k dis 
celle proposition, je considérerai le polynôme, de degré z, fie) i 
fait à équation du second ordre s 
æf"(x)—(xæ+an)f'(x)+nf(x)=0 
: et qui est le dénominateur de la réduite de degré n de e”. 
» En vertu de cette équation différentielle, pour toute racine 
quation (1), ; 
X = x — 
de l'é- 
on a 
