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équations différentielles de tous les ordres, je me bornerai, dans cette Note, 
aux équations suivantes du second ordre qui ne rentrent pas dans la classe 
dont je viens de parler : 
(1) 
F et F, sont des fonctions des deux variables x et y, uniformes et continues 
pour toute valeur de x située dans un certain domaine autour de l’origine, 
le domaine de y s'étendant au plan tout entier; on posera y = æ", p étant 
une constante quelconque, et c’est la forme des intégrales de l’équation 
ainsi obtenue dans le voisinage de l’origine que je me propose d'étudier. 
On reconnait de suite que, si l’on pose u = x° u, et y = æy',et si l’on prend 
pour p une racine de l'équation 
, à 
(æ, 7) +F, (x, y)ju= 
LL p(p—1)+6F(o, 0) + F,(0, 0)= 0, 
l'équation prendra la forme 
du, 
jt A a play m orla ÿ'}us = 0. 
» Nous considérerons donc immédiatement l'équation suivante : 
æ 
(a) i re = F(x, y) +F, (r,y)u 
où y=, 
_ » J'emploierai ici une méthode dont j'ai déjà fait usage dans une circon- 
stance analogue [Sur la forme des intégrales des équations différentielles du 
second ordre dans le voisinage de certains points critiques (Comptes rendus, 
16 septembre et 11 novembre 187 78). L'idée de cette méthode consiste à 
substituer à l'équation différentielle ordinaire considérée un système con- 
venable d'é équations aux dérivées partielles. 
> Venvisage ici le système 
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3 rs) *DBin Li s0P:::!- 
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| n HR = RAS: T Fi(æ,7)P: 
os ét P(æ,y) et Q(x, y) un système quelconque diatégreles de ces 
tions ; on voit que u = P(x, x") sera une intégrale de l’équa- 
tion (2). Nous one établir que les équations (3) admettent un système 
