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d’intégrales P et Q, uniformes et continues par rapport à æ et y dansles ré- 
gions indiquées plus haut, où F et F, sont elles-mêmes déterminées son 
devra supposer que p’ n’est pas une quantité réelle négative et que F(0;0) 
ne peut pas se mettre, soit rigoureusement, soit avec une approximalion 
indéfinie, sous la forme n + myu’, n et m étant des entiers positifs, Ge point 
étant admis, on voit que l’on aura immédiatement la forme des intégrales 
de l'équation proposée. NGE tR 
» Remarquons tout d’abord que les équations (3) permettront de dé- 
terminer les dérivées partielles successives des fonctions P et Q pouræ=0 
et y = 0; on pourra donc former deux séries ordonnées suivant les puis- 
sances croissantes de x et y, et il reste à établir qu’elles sont convergentes 
dans les régions précédemment indiquées. Désignons par M le maximum 
du module de F,(x, y) quand x et y restent, le premier à l’intérieur d'un 
cercle de rayon r, le second à l’intérieur d’un cercle de rayon R. Nous po- 
serons maintenant 
F(æ,y)=a+yo(x,y)+æŸ(x) 
et soient, dans les mêmes régions, M, et M, les modules maximum de ¢ 
et 4. Nous considérerons les équations suivantes : 
a(P—P,)=Qx, 
(4) {ag = * kme 
(2 EA- L elea 
où & et P, représentent deux constantes positives; & étant fixé arbitrai- 
rement, on peut prendre P, suffisamment grand pour que les A 
partielles des fonctions P et Q tirées des équations (4), dérivées essen 
lement positives, soient plus grandes que les modules des dérivées corres- 
pondantes tirées des équations (3). D'autre part, on peut suppose" x i 
samment grand pour que les fonctions P et Q tirées des eguan j 
soient uniformes et continues dans deux régions aussi peu différentes q 
l’on voudra des cercles r et R. On conclut de là que le système es 
tions P et Q tirées des équations (3), comme il vient d'être dit, est 
forme et continu par rapport à x et y, le domaine de x étant le vois! 
de l’origine, et celui de y le plan tont entier. FRE 
» Revenons à l'équation (1); deux intégrales de cette équation | 
tront sous la forme : 
DP (ajy) af PaT yY) 
