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k, k', k” étant des nombres entiers, de façon que les périodes relatives à 
y se réduisent à deux. Alors la fonction (1), (x, y), peut être exprimée à 
Paide de fonctions 0 d’une variable. 
» Pour le montrer, remarquons d’abord que l’on peut toujours faire en 
sorte que les parties réelles de y et de ĝ aient le même signe; èn effet, dans 
la somme (1), on peut changer le signe de y, à condition de changer en 
même temps celui de x, car cela revient à changer m en — m. Les parties 
réelles de y et de B étant ramenées à avoir le même signe, $ et k sont 
également de même signe, et on peut les supposer tous deux positifs; k" aun 
signe quelconque. 
» Cela posé, l’on a, d’après des formules connues, 
O(x + 2ka, + 2h) — prhx-a O(x, Y), 
(x +247, y + 2k fB) = t o(x, y); 
d’où | 
(3). error + akh, y + 2ky) = er PO (x di 2ky,7 +2k 0), 
» Faisant alors ngoi MH 
X + PERS E + 2k = Y 
et remarquant que 
| O(É, n +248 —2ky)—O(f,n), 
en vertu de la relation (2), la relation (3) devient 
(4) O(E NA oky ee 2ky,n) As PORN Sn POE, RE 
Cette équation (4) montre que la fonction @(E, n), considérée comme font- 
tion de ë seul, est une fonction entière admettant la période 2ni et ci 
produisant multipliée par Ae quand on augmente £ de la 
w = 244 — 2k'y. On sait qu'une pareille fonction d'une variable inde 
pendante £ peut être exprimée à l’aide des fonctions 0 d’une variable. g 
Rema 
» Voici comment on obtient'effectivement cette expression. 
que tout entier m peut se mettre d’une seule façon sous la forme 
(5) | m=ku+t (o<t<k—1), 
p et £ étant deux entiers; et tout entier z sous la forme 
(6) n=ky+e# (o<t<k—1). 
pet y de 
» Si, dans ces expressions (5) et (6), on fait varier les entiers A 
— x à +o,tde o à #— rett deo à &—71, on obtient, PO% 
