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» En cherchant à le démontrer par des procédés purement arithmé- 
tiques, j'ai trouvé qu'il existe toute une série de théorèmes analogues, dont 
le théorème de M. Weill n’est que le premier, et qui peuvent s’énoncer 
ainsi : 
» I. Quel que soit x, le quotient Q est divisible par la factorielle n!. C’est le 
théorème de M. Weill. 
» I. Si x n'est point une puissance d’un nombre premier, Q est divisible par 
le carré de la factorielle n!. 
» II, Six n’est ni une puissance d’un nombre premier, nt la somme de deux 
puissances d’un même nombre premier, Q est divisible par le cube de la facto- 
rielle n!. | 
» IV, Si x n'est ni une puissance d’un nombre Premier, ni la somme de deux 
puissances d’un méme nombre premier, ni la somme de trois puissances d'un 
méme nombre premier, Q est divisible par la quatrième puissance de la facto- 
rielle n!. 
» Et ainsi de suite. 
» Tous ces théorèmes sont compris dans cet énoncé unique : 
» S'il est impossible d exprimer x par une somme de moins de k puissances 
d'un méme nombre premier, le quotient Q est divisible par la puissance k*"* de 
la factorielle n1. 
úa C'est ce théorème général que je vais démontrer. 
» À cette fin, je considère un nombre premier quelconque p; je désigne 
Par P(£) le nombre de fois que p entre comme facteur dans la factorielle £! ; 
par z le nombre de fois que p entre comme facteur dans le quotient Q, et 
Je remarque que cette inconnue z est donnée par légalité évidente 
z= P(nx) — nP(x). 
» Le nombre x est entier et positif. Écrivons-le dans le système de 
numération dont la base est p, et, pour abréger, supposons que, dans ce 
Système de numération, le nombre x s’écrive avec trois chiffres seulement, 
a B, y: Nous avons | 
ie æ=a+fp+yp 
4; B, y étant des entiers positifs ou nuls, tous inférieurs à p, mais non pas 
tous nuls simultanément. us 
» Cela posé, nous avons évidemment 
P(nx)Z=P(na) + P(nfBp) + P(nyp°), 
