(gab: 
et, par suite, 
[P(na), 
P{nx)?\+ nf + P(nB), 
| + nyp + ny + P(ny). 
» Nous avons de même 
P(x)= 8 + yp+7. 
» Il s'ensuit immédiatement 
P(næ) — nP(x)2P(na) + P(nB) + P(ny), 
22 P(na) + P(nf) + P(ny), 
22 (a + B + y)P(n). 
c’est-à-dire 
et, a fortiori, 
» Si, au lieu d’avoir 
£=% +P +IP, 
on avait eu 
x= a+ Bp + yP +P ...; 
en d’autres termes, si le nombre x, dans le système de numération consi- 
déré, se fût écrit, non plus avec trois chiffres seulement, mais avec un 
nombre de chiffres quelconque, nous eussions trouvé de même 
27(a+B+y+0+...)P(n) 
» Cette relation nous permet de démontrer tout de suite le théorème 
général que nous avons énoncé. Supposons, en effet, que le nombre s 
puisse êlre la somme de moins de Æ puissances d’un même nombre pre: 
mier, alors, forcément, la somme «& + B+y+0+..., qui ne sanni 
Jamais, est supérieure ou égale à k; de sorte que nous pouvons écrire 
32 kP(n). 
Or le produit £P(#) exprime combien de fois p entre comme QI 
la kime puissance de la factorielle n!, et le nombre z exprime com supé“ 
fois p entre comme facteur dans le quotient Q. Puis donc que 2 pr PT 
rieur ou égal au produit 4 P(7), le quotient Q est divisible Fe ge er 
sance de la factorielle »!. Et c’est précisément là ce qu'il sapsi 
démontrer, » 
