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mière solution (5) jouit d’une propriété importante, qui permet d’en faire 
l'élément de l'intégrale générale pour le cas où £ joue le rôle de variable 
principale. Appelons ds = dx dy... Vélément de l’espace dont les coor- 
données sont x, 7, ..., et évaluons la somme fo dx pour l’espace compris 
de & = o à t = v, qu’on pourra découper, à partir de l’origine, en régions 
concentriques équidistantes d'épaisseur dx, proportionnelles à 1”! ds, Si 
nous appelons p le rapport de v à 24/4, cette somme sera, d’après la pre- 
mière (5), en raison directe de e f ee) w™”— du, et elle tendra, pour vou 
p infinis, vers une certaine limite ke. D'ailleurs, pour chaque valeur de p 
ou de fod®, sera proportionnel à yt et nul si t =o. Donc la pre- 
mière (5) convient aux cas où la somme fo dw, étendue à tout l’espace, est 
constante, et où © peut être censé s’annuler initialement, excepté à l'inté- 
rieur de l'élément particulier d'étendue, que j'appellerai ds,, à partir du- 
quel se comptent les distances +. Prenons successivement, pour cet élément 
di,, tous ceux d’une région finie quelconque 5,, dont x,, Jı, ... dési- 
gneront les coordonnées, et, F(x,, y,,...) étant une fonction arbitraire, 
choisissons les : de manière que k: = F(x,, »,,...) dm. L'intégrale plus 
générale, somme de toutes les solutions particulières ainsi formées, sera évi- 
demment telle, que l'expression Jọ dæ, évaluée pour un petit espace z quel- 
conque, deviendra fF do =&F à la limite { = o, de sorte que F(x, 7, =) 
y désignera les valeurs initiales de ©. Et comme à chacune des n formes deŸ 
il pourra correspondre une intégrale pareille, leur superposition con- 
slituera la solution générale, avec les n fonctions arbitraires F(X, J; 
qu'elle comporte. C’est ce qui a lieu, soit quand il s’agit du mouvement 
de la chaleur dans un milieu athermane indéfini, cas où n = ı et p= 
soit quand il s’agit du mouvement transversal d’une barre indéfinie, cas où 
n= 2, m= 1 et où les deux formes de ¢(y) sont cosy et siny. 
» Quant à la deuxième (5), ce n’est pas fo dw, mais L o dt, qu’elle rend 
0 
constante, pourvu toutefois que F Ņ(u?) u'™ du soit finie et déterminée; 
: ; 
et c’est pour t = 0, non pour ¿= 0, qu’elle peut être censée alors annuler Qs 
excepté à l'instant £ — o. Mais cette solution ne paraît pouvoir conduire; 
par voie de superposition, à aucune autre, intéressante, que celle, (4), dont 
on l’a déduite. Celle-ci, (4), qui, vu son double signe +, comporte an formes 
différentes, est appropriée à certains des cas où « a le ròle de variable princi- 
pale. Il en est de même, pour d’autres de ces cas, de la premiere (4) u 
; 7 US = ss -5 Éd ") d 
rend l'expression +”-! z égale au produit de f (= 56 }e (2 je 
