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où P sera une somme de termes tels que le suivant 
aan .a(de,ÿs.:.(de,)e(dz)"(d?2}:...(d,2}", 
les exposants «x, B étant assujettis anx deux conditions 
B D Èa; + 2a + b: P mM, 
Za; + Zißb;:=5m+1, 
d’où l’on déduit 
Bat 28,+...+ (m — 18,51 +P EIn. 
Par conséquent, chacun des termes de P contiendra en facteur l’une des 
différentielles d?z, d’ z, ..., d"z, et l’on peut écrire 
(2) dz =A d”"3 +... +A, dz. 
Cette équation pourra même, en général, être obtenue de plusieurs manières 
différentes. Si P, par exemple, contient dans un de ses termes le produit 
d'zd*z, ce terme pourra être placé arbitrairement avec ceux qui contiennent 
d'z en facteur, ou avec ceux qui contiennent d'z. 
» Si maintenant on remplace, dans les fonctions A;, les différentielles de 
z par leurs valeurs, A; devient un polynôme homogène d’ordre à par rap- 
port aux différentielles des variables indépendantes. Ainsi écrite, l’équa- 
tion (2) exprime la propriété que je voulais obtenir. Dans le cas où M= 2, 
elle se réduit bien à l'équation | 
CE | d*z = Ad°z 
signalée par M. Hermite. Il est clair d’ailleurs que, par la différentiation, 
elle conduit à des relations dela forme FEES 
d'#P3 = AP d”z +...+ À? d?z, cé 
où A? est un polynôme d'ordre P“+i—1 par rapport aux différentielles 
des variables indépendantes. 
» Il est bon de remarquer toutefois que l’équation (2) n'exprime Un? 
propriété de la fonction z que si le nombre des variables dépasse upp pmr 
taine limite dépendante de m. Par exemple, l'équation (3) n'exprime al 
cune propriété de z si z dépend d’une seule variable. D'une manière 8 
rale, l'équation (2) permet de déterminer tontes les dérivées et 
de z, dont je désignerai le nombre par N(m + 1, 1) en fonction des Le ut 
cients des polynômes A, et des dérivées d'ordre inférieur. Elle équ"® 
