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donc à N(m + 1, u) équations. D'autre part, soit ọ(m, p.) (') le nombre 
des coefficients réellement distincts entrant dans les polynômes A;. 
» Pour que les diverses relations comprises dans l’équation (2) con- 
duisent, par l'élimination des coefficients arbitraires, à des équations aux 
dérivées partielles auxquelles satisfera la fonction z, il faudra que l’on ait 
Nim+i,u)>o(m,n). 
Ainsi, pour chaque degré m, le nombre y des variables devra être supérieur 
à une certaine limite qui, on le reconnait aisément, est inférieure à m. Au- 
trement, l'équation (2) pourrait toujours être satisfaite par un choix con- 
venable des coefficients qui entrent dans les polynômes A;. 
» Mais on peut, en généralisant les propositions que l’on connait relati- 
vement aux fonctions algébriques d’une variable, obtenir les théorèmes 
suivants : 
» Ilexistera toujours, entre la fonction z et m de ses dérivées, ou entrem +1 
dérivées de z, une relation linéaire et homogène, dont les coefficients seront des 
fonctions rationnelles «des variables indépendantes. 
» Si toutes les dérivées considérées sont du second ordre au moins, la relation 
a lieu entre m dérivées seulement. 
» J'ajoute qu’il est toujours possible de choisir, dans cet ensemble de 
relations, un certain nombre d’entre elles dont toutes les autres se dédui- 
sent par différentiation et élimination, et dont la solution commune se 
compose uniquement des diverses branches de la fonction z. 
» Ces propositions sont analogues à celles que l’on emploie dans la 
théorie des équations linéaires, et elles se démontrent d’après les mêmes 
Principes. Comme elles n’ont que des rapports éloignés avec la question 
que je m'étais proposée, je me contenterai des indications précédentes. » 
ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l'intégration des équations différentielles 
par les séries. Note de M. H. Poincaré, présentée par M. Hermite. 
« Cauchy a démontré depuis longtemps que, si l’on a un ensemble 
d'équations différentielles simultanées telles que 
dy d dt 
a = Ji(x,Y, 5, t), F (2350), T TAY zt), 
1 - LA . . LA LA s LA sr 
( ). ?(m, u) est une fonction numérique intéressante dont je réserve l'étude pour mon 
travail développé. i ' 
