(578) 
les intégrales peuvent se développer en séries convergentes ordonnées sui- 
vant les puissances de x — Xo, Xo étant la valeur initiale de la variable x, 
Malheureusement ces séries ne restent convergentes que pour les petites 
valeurs de x — x, ; aussi, dans la plupart des applications, dans le calcul 
des perturbations, par exemple, leur a-t-on préféré d’autres séries et en 
particulier des séries trigonométriques. 
» J'ai pensé qu’il y aurait quelque intérêt à rechercher si l’on ne peut 
pas intégrer les équations différentielles par des séries qui restent conver- 
gentes pour toutes les valeurs réelles de la variable. Voici comment on 
peut procéder. On peut ramener un système quelconque de relations algé- 
briques entre un nombre égal de fonctions d’une seule variable indépen- 
dante et les dérivées de ces fonctions à la forme suivante : 
dx; ÂTe dx, 
( I ) n en Te D ay rt | 
Ale k 
` A À + bee 
où X,,X,,..., Xn sont des polynômes entiers en x,, £s, -» -y Zn. J Mtro- 
duis une variable auxiliaire s définie par l’équation différentielle 
sm — 
ENS RATS NN CNRS CPP 
(2) dx; dr, dr, ds 
» Je démontre qu’on peut toujours trouver un nombre g tel que tı 
Xz, ++, Xn puissent s'exprimer par des séries ordonnées suivant les puis- 
sances de 
es — 1 
+ 
et convergentes pour toutes les valeurs réelles de s. Les coefficients sont 
des fonctions rationnelles de x, des coefficients des polynômes X et des 
valeurs initiales des variables. 
» Cette formule permet de calculer x,, x,, ..., æ,, tant que ces quan 
tités restent réelles et ne prennent pas des valeurs qui annulent à la j 
X,,X,,..., X,. Si, par exemple, on voulait l'appliquer aux équations i 
la Mécanique céleste, les séries resteraient convergentes pour toutes les va- 
leurs réelles du temps. sle 
» Je n'ai voulu donner qu’un exemple, montrant qu'il était possib 
d'intégrer une équation différentielle quelconque par des séries pue 
convergentes pour des valeurs réelles de la variable; mais ce propres 
comporte une infinité de solutions, et dans chaque cas particulier ily -A 
rait lieu de rechercher quelle serait la plus avantageuse. » 
