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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur certaines fonctions uniformes de deux variables 
indépendantes et sur un groupe de substitutions linéaires. Note de M. E. Picann, 
présentée par M. Hermite. 
« La théorie des fonctions elliptiques a donné le premier exemple d’une 
fonction uniforme d’une variable ne changeant pas pour un groupe d’une 
infinité de substitutions linéaires faites sur cette variable : je veux parler 
de la fonction modulaire, c’est-à-dire du module considéré comme fonction 
du rapport des périodes. 
» On pourrait croire, au premier abord, que la théorie des fonctions 
abéliennes est susceptible, d’une manière générale, de conduire pareille- 
ment à des fonctions de plusieurs variables, entièrement analogues aux 
fonctions modulaires; on reconnaît facilement qu’il n’en est rien. Prend-on, 
par exemple, les fonctions abéliennes du premier genre : elles conduisent 
à un système de trois modules, fonctions de trois variables indépendantes, 
dont les propriétés ont été étudiées par M. Hermite dans ses belles recher- 
ches sur la transformation des fonctions abéliennes (Comptes rendus, 1855). 
Ces fonctions se reproduisent pour un groupe d’une infinité de substitutions 
faites sur les variables; mais ici ces substitutions ne sont plus linéaires. 
Ainsi donc, laissant nécessairement de côté le cas de deux variables, on 
passe immédiatement à des fonctions de trois variables, et la forme linéaire 
des substitutions a disparu. Je me suis, depuis longtemps, proposé le pro- 
blème de la recherche de fonctions de deux variables qui puissent être 
considérées comme les analogues des fonctions elliptiques modulaires; 
j'espère en avoir trouvé une solution en étudiant un cas particulier des 
fonctions abéliennes du second genre (pour lesquelles p = 3). Dans une 
précédente Communication (Comptes rendus, 21 novembre 1881), j'ai con- 
Sidéré la relation algébrique z°= t(t — 1)(t — x)(t— y). Ayant pris les 
trois intégrales de première espèce 
o= fe) (ex) (e y) “dt, 
Po E d 
3 3 
(1) U = PEREI S ar E 
W= f u= ea) tyy d, 
