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leurs valeurs; on aura cés relations 
La première donne l'expression de À, et nous reconnaissons, par cette voie, 
qu’elle ne contient d’autre irrationnalité que yN.. On obtiendrait la même 
conclusion dans le cas de n = 2y — r , et c'est le résultat que j'avais princi- 
palement en vue d'établir, après avoir démontré que sn? w est une fonction 
rationnelle de %. L'étude des solutions de Lamé qui correspondent aux 
racines de l'équation N = o nous permettra, comme on va le voir, d'aller 
plus loin et d'approfondir davantage la nature de ces expressions de À et 
sn°?«, 
» LXI. On a vu au § XXXIX (p. 481), que l'intégrale générale de 
l'équation différentielle n’est plus représentée, lorsqu’on a N = o, par la 
formule 
Y = CF(x) + CF(— x), 
le rapport dE se réduisant alors à une constante, et, comme consé- 
quence, nous avons établi que les multiplicateurs de la fonction de seconde 
espèce deviennent, au signe près, égaux à l’unité. Suivant les diverses 
combinaisons des signes de u et u’, nous pouvons donc avoir des solutions 
particulières de quatre espèces, caractérisées par les relations suivantes : 
(1) F(x+2K)==F(x), F(x+aiK')=+F(x), 
(II) F(x + 2K) = — F(x), F(x +2iK') = — F(x), 
(HT) F(T+2K)=+F(x), F(x -+ 2iK')= - F(x), ; 
(IV) F(x +2K)=+F(x), F(x + 2iK') =+ F(x). 
Toutes existent en effet; et les trois premières, où F(x) a successivement la 
périodicité de snx, cng, dng, s’obtiennent en faisant, dans l'expression 
générale de cette for 
o =K + iK. 
ment simple 
mule, X= o, conjointement avec w = 0, ù ds 
Nous remarquerons, pour l’établir, que, les valeurs de l’éle- 
EP E À 
J(x)= et, (x) 
A ss . ie. . ayelop- 
étant alors f(x) = k snx, ik cng, idnæ, dans ces trois cas, les dével a 
pements en série de f (iK' + &) ne contiennent que des puissances impair 
