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pour simplifier, que F(x) = o n’a pas de racines égales, que la fonction (!) 
F?{(x)— F(x) Fx) 
a toujours une valeur positive pour une valeur réelle quelconque de x. 
En désignant par & et 8 deux racines consécutives de F'(x) = o, on a 
Fla) Fie) <o et F(B)F'(B)<o, 
F(a)F (8) F(a) (6) >03 
on a du reste, en vertu d’une propriété connue, 
d'ou 
Fa) F'(B) <0; 
F(a)F (f) <o, 
on a donc également 
ce qui démontre la propriété énoncée. 
» 2, Considérons équation -1 + x sinx =o, qui a évidemment une 
infinité de racines réelles; les deux premiers termes du développement du 
premier membre étant 1 + x° et ces termes présentant une lacune entre 
deux coefficients positifs, on voit que cette équation a nécessairement aussi 
des racines imaginaires, si l’on est assuré que le genre de son premier 
membre ne dépasse pas 1. ; ' 
» On voit par ces exemples qu’il peut être de quelque utilité de savoir 
déterminer le genre d’une fonction transcendante; et, à cet égard, on peut 
énoncer la proposition suivante : 
Si le rapport AE, où n désigne un nombre entier, tend vers zéro quand 3 
croit indéfiniment, la fonction f(z) est du genre n. 
» Pour le démontrer, imaginons un contour S entourant l’origine 0 des 
coordonnées et tel que, le point M décrivant ce contour, l’angle que fait 
avec l'axe des x le rayon vecteur OM aille toujours en croissant; Soit f la 
oi 
. (*) Plus généralement, F(x) désignant une transcendante du genre zéro où du genre 1, 
les équations 
F(a)+2xF'{a) + F'{a)x? = 0, 
F(a) + 3x F'(a) + 32? F”(a) + F’(a)a® = 0, 
Fa) PAF Pa) +62 E AP) + F(a)#= 0 
.. 
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ont toutes leurs racines réelles, quelle que soit la quantité réelle a. 
