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y étant liée à x par une équation algébrique : $ 
(1) F(x,y)=0, 
représentant une courbe d'ordre m et de genre p. Je me suis proposé 
d'étendre à ces fonctions les théorèmes de MM. Weierstrass et Mittag- 
Leffler relatifs aux fonctions uniformes d’une variable x. Je distingue les 
points singuliers de ces fonctions en pôles eten points singuliers essentiels, et 
je ne m'occupe que des fonctions uniformes qui ont des points singuliers 
isolés et qui ne présentent pas de lignes de points singuliers, 
» 1. Fonctions ayant un nombre fini de points singuliers. — Soit f(x, y) 
une fonction uniforme du point analytique (x, y), ayant n points sin- 
guliers 
(a, D), (Ge, Da), +. (an bn), 
que je suppose, pour plus de simplicité, distincts des points eritiqype de la 
(x, y 
fonction algébrique y de æ. Désignons par au(x, y) = yafe "+ (x, y)dx 
les p intégrales abéliennes normales de premiere espèce tres à la 
courbe (1). Dans le voisinage du point singulier (az, bz), la fonction f(x, y) 
est développable en une double série de la forme 
y= ES AW 
f(x,y) = ÿ (aa) 
je démontre que ces coefficients A” GEk g VA nt satisfont aux p relations 
, 
k=n y=% 
Hini bp 7 
(2) z pios et =o ear e 2) 
k=l yai: 
Le 
(x,y) désignant la dérivée d’ordre (» — 1) de ọ;(x, y) par rapport à 
x. La démonstration de ces relations repose sur ce fait que la somme des 
résidus de la fonction f(x,y) g(x,y) est égale à zéro. 
» Je forme ensuite l’ expression la plus générale d’une fonction uniforme 
Jx, y) ayant un seul point singulier, à savoir le point singulier essentiel 
(a, b). Pour obtenir cette expression, désignons par ©(w;) la fonction 
O(u,, Us, ..., Up) de p variables formée avec les périodes normales des 
intégrales u°(x, y), et considérons l'intégrale abélienne normale de troi- 
sième espèce qui a pour points singuliers logarithmiques les deux points 
C. R., 1882, 1° Semestre. (T. XCIV, N° 44.) 9! 
