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(é, n); (Es n) 
HE jog SLOD) = uO, a) h] Oj u(n) +A] 
H, © 08 oeoa] OEA h]. Sl E + hl 
puis posons 
due" 
un eA] 
Z(&, n) = e pe 
Cette fonction Z(¢, n) est indépendante du point (¢', 7’); c’est une fonc- 
tion de (x, y) partout finie, excepté au point (£,1) qui est un pôle du 
premier ordre de résidu égal à l'unité. Cette même fonction Z(E, n) est une 
fonction rationnelle du paramètre (ë, n), ayant pour pôles les points criti- 
ques et les points (x, y7), (Los Yo), ces derniers avec des résidus — 1 et 
+ 1. (Voir, à ce sujet, Thèse présentée à la Faculté des Sciences de Paris, 
par M. Emmanuel, le 5 juillet 1879; Cresscm et Gorpan, Theorie der 
Abelschen Functionen, p. 120 et suiv.) | 
» Cela posé, soit f(x, y) une fonction uniforme du point analy- 
tique (x, y) ayant un seul point singulier, à savoir le point singulier 
essentiel (a, b), et soit, dans le voisinage de ce point, 
Y=+o gi 
f(x, y)= X (æ— a)? 
on aura 
Lol À, ry (V—A 
fa, y) =f(Xo, Yo) + $ ee JZ (a;b), 
Z=" (č, n) désignant la dérivée d’ordre (v —:1) de Z(£, n) par rapport au 
paramètre č. La démonstration de cette formule repose sur la considéra- 
tion de l'intégrale 
SÍ (5, n) Z(6, n) dé, 
étendue à tous les circuits. : 
-» On obtiendra, de la même façon, l'expression la plus générale d'une 
fonction uniforme f (x, y) ayant n points singuliers donnés, par une for- 
mule analogue à celle qwa établie M. Bourguet à l'égard des fonctions Um- 
formes dans un plan. 
» 2. Fonctions ayant une infinité de points singuliers. — J'indique, pour A 
fonctions, la généralisation suivante du théorème de M. Mittag-Leffler. 
» Soient (a,, b,), (az, b3), ..., (a,, b,), ... des points analytiques A 
différents, tels que | ( 
lim(a,, $) = (a;b): (y=e); 
