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est convergente pour toute valeur de æ qui figure un point compris à l'inté- 
rieur de A. Soient, en effet, x, un point de cette région, et 4 le plus petit des 
A TL F4 
modules des quantités 1 — => 1 — 7 >+ on aura 
0 1 
3 x ! 
Ÿ mod | FA -mod c; 
z k 
y= 0 Le — vd 
ay 
la première somme aura donc une valeur finie. Il résulte aussi de là que, 
dans le voisinage du point æ,, la fonction F(x) pourra être développée en 
une série convergente ordonnée suivant les puissances croissantes de £ — Ty 
P(x — x, ) : c'est donc une fonction uniforme et monogène dans l'aire A. 
Le théorème fondamental que je veux démontrer est le suivant : 
» Soient x, un point de laire A, et R le rayon du plus grand cercle qui, ayant 
pour centre le point x,, ne contient à son intérieur aucun point de la série (1); 
si ce cercle contient sur son contour un seul point appartenant à la série (x), il 
est précisément le cercle de convergence de la série P(x% — x). 
» Pour simplifier les notations, je supposerai x, = 0; il existe un cercle 
de rayon R ayant pour centre l’origine, ne renfermant à son intérieur 
aucun point de la série (1) et sur le contour duquel se trouve un seul point 
a, de cette série. Je supposerai que l’on a toujours A É ap, Si 9 Ps è 
sorte que l’on aura 
moda,—R, moda,>R, si »# pP. 
q i 
» Puisque la somme X, mod c, a une valeur finie, on pourra trouver un 
y=0 
nombre z supérieur à p, tel que y mod c, < emod ĉ,, € étant un nombre 
IEn 
positif, moindre que l'unité. Nous pouvons écrire 
F(x) = (x) + (s), 
en posant 
p—i n—i 
C G 
d(x) => Sr —, 
y=01 N v=p+i NET 
c Cy 
Haj = = 
ou ASS sep RES 
ap y 
