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» En considérant d’abord (x), on voit que chaque terme peut se déve- 
lopper en une série P(x) convergente dans un cercle de rayon supérieur à 
R; comme il y a un nombre limité de pareilles séries, leur somme donnera 
pareillement une série P,(x) convergente dans un cercle de rayon R’, su- 
périeur à R; R’ désigne le plus petit des modules des quantités a., &,, ..., 
Apr Aptis +s Any 
» Développons de même N(x) en série; le terme général de cette série 
P(x) sera 
2 cp El o Dea es ap m 
[+$] -ie 
F] v=n 
» On a évidemment 
mod Ÿ o, (2) EY mod c, X mod Ae F mod c,. 
y V 
y=n E-F yan 
Cette dernière somme étant inférieure à mod c,£, il en résulte que le mo- 
m 
dule du coefficient de (z) restera compris entre deux nombres fixes 
mod c,(1 + £) et mod c, (1 — £). Pour que la série P} (x) soit convergente, 
il faut donc et il suffit que le module de = soit inférieur à l'unité. Le cercle 
de rayon R est donc bien le cercle de convergence de la série P,(x) et, 
par suite, de la série P(x) = P,(x) + P,(x). 
» Il est aisé de voir comment on doit modifier la démonstration, lors- 
qu'il y a, dans la série (1), plusieurs quantités égales à ap, ou lorsque le 
point x, ne coïncide pas avec le point x = o; dans ce dernier cas, on n’a 
qu'à poser s = x, + x’ pour retomber dans le cas précédent. 
» Considérons maintenant une aire T ne renfermant aucun point de la 
série (1), limitée par une ou plusieurs courbes, ayant une tangente en cha- 
cun de leurs points, et telles que, sur un arc fini de l’une d’elles, il y ait 
toujours une infinité de points de la série (1). La série F(x) définit une 
fonction uniforme à l’intérieur de Paire T; de plus, si æ, est un point de 
cette aire, et P(x — x,) la série correspondante par laquelle on peut 
exprimer F(x) dans le voisinage du point £o, le cercle de convergence de 
cette série est le plus grand cercle C qui, ayant pour centre le point x, ne 
renferme à son intérieur aucune partie du contour de T. Car si cette série 
était convergente dans un cercle C’ plus grand que C, on pourrait trouver 
dans C’ un point x, pour lequel le théorème précédent serait en défaut. Il 
C. R., 1882, ve Semestre, (T, XCIV, N° 44.) 
