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ce qui donne la condition 
ys, + (v — 1)h, Sy + (Y — 2) ha Sya t e0 H hyi S =h,,, 
je dis que la fonction doublement périodique 
DF (x) — [n(n + 1)k? sn?°x + h]F(x) 
est nécessairement nulle. Si, après avoir posé æ = iK’ + s,on la développe 
en effet suivant les puissances croissantes de £, non seulement la partie 
principale, mais le terme indépendant disparaitront, comme on l'a vu au 
§ XXXV, p. r91. De ce que la partie principale n’existe pas, on conclut 
que la fonction est constante; enfin cette constante elle-même est nulle, 
puisqu'elle s'exprime linéairement et sous forme homogène par le terme 
à $ $ ; $ I 
indépendant de £, et les coefficients des divers termes en ge 
» Soit ensuite n = 2y — 1; le développement qu’on tire de l'équation 
différentielle, à savoir 
I h, Pii 
re ET SEE AE 
contenant un terme en 5, on doit tout d’abord le faire disparaître en po- 
sant A= 0, pour en dhii une fraction doublement périodique de 
première espèce, qui sera de cette manière 
DE (E te) _ y DR(A sta) pe 
F(x) = — T{2v—1) hs 2 Ta PE sn 2) 
Cela étant, et en nous bornant à la partie principale, on aura 
z r; = 
F(iK'+e)= = + HS r; 
il en résulte que, si on laisse indéterminée la constante A, le développement 
de l'expression 
DF (x) — [n(n + 1) k? sn? + A]F(x), 
après avoir posé x = iK’ + £, commencera par un terme en 5 Mais faisons 
h,_, = 0; comme on peut écrire alors 
F(iK'+e)= + ingi F is at 
"ad e? € 
=, qui lui- 
on voit que ce développement commencera par un terme en 
