(755 ) 
même doit nécessairement s’évanouir, et il est ainsi prouvé que, sous la 
condition posée, le résultat de la substitution de la fonction F(x), dans le 
premier membre de l'équation différentielle, ne peut être qu’une constante. 
_ J'ajoute que cette constante est nulle, le résultat de la substitution étant, 
comme F(x), une fonction qui change de signe avec la variable. Soit 
donc, dans le cas de n = 2», 
S= vst (v — 1) hi Sya H (9 — 2) hi Sya + oo o + hs —h,;; 
puis, en supposant 7 = 2» — 1, 
S = hys 
on voit que les équations 
Feot Q=o, Ron e 
déterminent les valeurs de % auxquelles correspondent les quatre espèces 
de solutions doublement périodiques découvertes par Lamé, ces solutions 
ne se trouvant plus distinguées par leur expression algébrique, comme l’a 
fait illustre auteur, mais d’après la nature de leur périodicité. On voit 
aussi que la condition N = o, d’où elles ont été tirées, se présente sous la 
forme 
PQRS = 0, 
et l'on vérifie immédiatement que le produit des quatre facteurs, dans les 
deux cas de z = 2y et n = 2y — 1, est bien du degré 2n + 1 et h, comme 
nous l'avons établi pour N au § XXXIX, page 480. 
» Voici maintenant le procédé que j’ai annoncé pour déduire les solu- 
tions de la quatrième espèce de la solution générale. 
» LXII. Je reviens à l'élément simple 
f(x) = Sophia +a) ren be 
e(z)a{o) 
où À etsno sont des fonctions déterminées de k; je les suppose infinies 
l'une et l’autre pour une certaine valeur de cette constante, et je me pro- 
pose de reconnaître ce que devient, lorsqu'on attribue à h cette valeur, l'ex- 
Pression de f(x). Concevons, à cet effet, que À soit exprimé au moÿen 
€ w; Je ferai 
w = iK'+ 0, 
ce qui donne, après une réduction facile, 
m5) ir ie 
f(à)= Lole(eks) orales, 
TT e(z)H(o) 
