ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la théorie des fonctions uniformes d’une 
variable; par M. Mrrrac-Lerrier, Extrait d’une Lettre adressée à 
M. Hermite. 
« Supposez d'abord que la fonction F(x), dans ma dernière Lettre, soit 
F(x) =R(y)r(x); 
Jeh 
où r(x) est une fonction algébrique rationnelle de x et R(y) une autre 
fonction de la même nature, mais qui, pour y = o et y = æ , a une valeur 
finie. Il y a toujours une quantité positive #, telle que 
mod. (a, — a) > k, 
pour toutes les valeurs des indices u et y où uZvy. La condition lim PME 
est, par conséquent, remplie. Il est toujours possible de trouver une 
quantité positive p telle qu’il n’y aura jamais une valeur de æ qui satis- 
lasse en même temps à deux conditions différentes, mod. (x — a,) $p, 
mod. (x — a,) Sp, mod. (x — a, ) Sp, .... Le module de la quantité R (e7) 
reste toujours, pour les valeurs de x qui ne satisfont pas aux conditions 
mod. (x — a,) < p, mod. (x — a) < p, mod. (x — a3) < p, ..., une quan- 
tité finie, et ne croit pas non plus au-dessus de toute limite quand cela a 
liew pour le module de æ. On peut aussi toujours multiplier r(x) par une 
telle puissance négative que la même chose ait lieu pour le produit 
'(&)æ ", et que le module de ce produit diminue au-dessous de toute 
limite quand mod. æ croit indéfiniment, 
» Soit & maintenant une valeur positive quelconque. Choisissez le 
contour S de telle manière qu'il embrasse le cercle mod.(æ)<a et 
qu'il ne coupe pas et ne touche aucun des cercles mod. (x — a,) Sp, 
mod. (x — &3)£p, mod. (x — a) Śp, ...; vous voyez alors qu’il répond à 
chaque valeur positive ò une autre valeur positive &, telle qu’on a 
mod. [ Rie) r(2) E)” Fe de | am 
et vous obtenez, par conséquent, 
F(x) =G(x) +Ÿ F(x). 
y=i 
