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Les axes et les droites déterminés par les semi-droites fondamentales con- 
stituent un faisceau harmonique. 
» Un cycle inscrit dans P et P’ a, en commun avec l’hypercycle, deux 
couples de tangentes conjuguées; ces tangentes forment un quadrilatère 
dont deux sommets sont situés sur la polaire de O, relativement au cycle 
considéré. Les quatre autres sommets sont distribués deux par deux sur 
les axes de la courbe. 
» Le lieu des centres des cycles doublement tangents qui appartien- 
nent au même système que Q est une parabole IL, et la courbe peut être 
considérée comme une anticaustique par réfraction de cette parabole, les 
rayons incidents étant perpendiculaires à la droite Owo. A l'autre système 
de cycles doublement tangents correspond une autre parabole Is, en sorte 
que, généralement, l’hypercycle peut être considéré de deux façons diffé- 
rentes, comme l'anticaustique d’une parabole. 
» Dans certains cas particuliers, ces paraboles peuvent se réduire à des 
droites; dans le cas où l’un des deux axes est rejeté à l'infini, l’hypercycle 
est une courbe parallèle à une parabole. 
» ô. L'hypercycle a été précédemment défini par les propriétés sui- 
vantes : les tangentes se distribuent par couples, de telle sorte que deux 
langentes appartenant à un même couple (tangentes conjuguées) et les 
deux semi-droites fondamentales forment un système harmonique; les 
conjuguées harmoniques d’une semi-droite fixe D, par rapport aux couples 
de tangentes conjuguées, enveloppent un cycle K. 
» Le même hypercycle peut être ainsi défini d’une infinité de façons; on 
peut, en effet, énoncer la propriété fondamentale suivante : 
» Etant donnée une semi-droite quelconque A, les conjuguées harmoniques 
des tangentes à ce cycle, relativement aux couples de tangentes conjuguées, en- 
veloppent un cycle TI. 
» Je désignerai ce cycle sous le nom de cycle polaire de la semi-droite 
Ai Jes Propriétés de ces cycles présentent la plus grande analogie avec les 
Prepriètés des pôles des droites dans la théorie des coniques. 
à Voici les principales de ces propriétés : 
a mtroit A a pour cycle polaire le cycle IT, les cycles po- 
T Ars a tangentes a II soni tangani à À. 3 
peint de a aee d'une tangente à l’hypercycle touche cette courbe au 
ur 5 ela jaegente, tior a 
A, où > ant par II et II les cycles polaires de deux semir roites . 
que les cycles polaires des tangentes communes à II et I 
C. R., 1882, 1" Semestre. (T. XCIV, Ne 45.) 7 
