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touchent A et A’. Il en résulte qu’il y a deux cycles polaires qui touchent 
deux semi-droites données (ou qui touchent une semi-droite en un point 
donné); en particulier, il y a deux cycles polaires ayant un centre donné. 
» Si les deux semi-droites A et A’ sont opposées, les tangentes communes 
à I et Il ont pour cycles polaires deux points; il y a donc une infinité de 
semi-droites dont les cycles polaires se réduisent à des points. Le lieu de 
ces points est une conique H, ayant pour asymptotes les semi-droites fon- 
damentales, et l'enveloppe des semi-droites correspondantes est un cycle &. 
» Si une semi-droite se déplace parallèlement à elle-même, les cycles 
polaires demeurent tangents à deux semi-droites parallèles aux semi-droites 
fondamentales P et P’; le point de rencontre de ces semi-droites est situé 
sur la conique H. 
» Réciproquement, si par un point quelconque de H on mène deux 
parallèles à P et P’, tout cycle inscrit dans ces semi-droites est un cycle 
polaire de l’hypercycle. 
» 7. Il ne sera peut-être pas inutile, pour éviter toute difficulté dans 
l'application des propositions précédentes, de présenter quelques observa- 
tions sur certaines formes singulières sous lesquelles peut se présenter un 
cycle. | 
» Un système de semi-droites parallèles détermine un point à l'infini 
et sur une droite donnée se trouvent deux points à l'infini, correspondant 
aux deux semi-droites déterminées par la droite. Au point de vue où nous 
sommes placés, nous devons donc considérer les points à l'infini set 
situés sur une conique aplatie, et se réduisant à la portion de la droite de 
l'infini comprise entre les deux ombilics du plan. A tout point de la co- 
nique de l'infini correspond ainsi un système de semi-droites parallèles. 
» L'ensemble de deux points & et B de la conique de l'infini (défini par 
les parallèles à deux semi-droites fixes A et B) doit être considéré comm® 
un cycle. Les tangentes à ce cycle, menées par un point M du plan, 74 
les semi-droites tracées par ce point parallèlement à A et B. Le E y 
ce cycle est le point situé à l'infini sur la bissectrice des deux geet ori 
A et B, et j'entends par là la droite qui est le lieu des centres des cycles 
tangents à À et à B. 
» En s'appuyant sur les définitions précédentes, on peut dire g. i 
cycle polaire d'une semi-droite parallèle à P se compose de deux apita 
la conique de linfini, l’un de ces points étant situé sur la semi-droite : 
Semblablement, le cycle polaire d'une semi-droite parallèle à Poe 
pose de deux points à infini, dont l’un est situé sur P. » 
e le 
