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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le problème de Pfaff. 
Note de M. G. Darpoux. 
« On sait que Pfaff a fait connaître en 1814 la première méthode régu- 
lière permettant d'intégrer une équation aux dérivées partielles du premier 
ordre à un nombre quelconque de variables indépendantes. La marche 
qu'il a adoptée repose sur la considération des expressions différentielles 
telles que la suivante : 
X,dx,+...+X, dx», 
où X,,..., X, sont des fonctions connues de ,,...,,, et sur la réduction 
de ces expressions à une certaine forme canonique, réduction qui s'obtient 
par l'intégration de plusieurs systèmes d'équations différentielles ordinaires 
que l'on formé successivement. Cauchy, dans son Mémoire sur les équa- 
tions aux dérivées partielles, et Jacobi, dans ses premières études sur ce 
sujet, ont obtenu le méme résultat que Pfaff par des méthodes incompara- 
blement plus simples, et ils ont ainsi mis en évidence ce fait important que, 
sil'on prend la forme différentielle particulière, correspondante à une équa- 
tion aux dérivées partielles, il suffit d’intégrer complètement le premier 
système qui se présente dans l'application de la méthode de Pfaff pour ob- 
tenir l'intégration générale de l’équation proposée. La méthode de Pfaft 
exige donc, au moins en apparence, des intégrations inutiles. Cela explique 
sans doute pourquoi elle a été laissée si longtemps de côté par les géomètres; 
bien que, après les belles études qui ont été faites dans ces derniers temps, 
elle paraisse destinée à jouer le rôle principal dans la théorie des équations 
aux dérivées partielles. 
» J'ignore si l’on a remarqué que la méthode de Pfaff, convenablement 
appliquée et rendue plus précise, devient aussi simple que toutes les autres. 
En tout cas, il est aisé d'établir que, dans le cas spécial de la forme corres- 
pondante à une équation aux dérivées partielles, l'intégration du premier 
système d’équations différentielles que l’on doit former dans la théorie de 
Pfaff conduit immédiatement à la forme réduite définitive et, par conséquent, 
ae de toutes les intégrations qui devaient suivre celle du premier sys- 
e. 
» Considérons une forme 
t) Qj K de, +...+ X,dta 
