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à un nombre pair de variables. Si l’on pose, pour abréger, 
(2) ðX, OX; 
a EV a, 
le premier système d'équations à intégrer est le suivant : 
| dadete. +a dx, = Xdi; 
(3) 
où £ est une variable introduite pour la symétrie. Ce système admet n —1 
intégrales indépendantes de £. Si l’on désigne ces n — 1 intégrales indépen- 
dantes, prises d’ailleurs d’une manière quelconque, par Y4, =., Yr-iy OD 
démontre que l'expression différentielle 4, est réductible à la forme sui- 
vante : 
(4) = K(Y,dy,+...+Y, dy), 
où les quantités Y; sont des fonctions des seules variables y;. C’est là le ré- 
sultat essentiel et bien connu sur lequel je m’appuierai dans ce qui va 
suivre. 
» Puisque le système (3) an —1 intégrales seulement, une au moins 
des variables x;, x,lpar exemple, ne sera pas une intégrale. Parmi les diffé- 
rents systèmes d’intégrales indépendantes, nous choisirons celles qui se rê- 
duisent à £4,..., Ln- pour £y = x. Ainsi, pour cette valeur ai attribuée 
à æ,, Yi se réduira à x;. Supposons que, pour £y = Vp, K se réduise à 
U(x,,...,æ). Je puis, sans changer la forme de l’équation (4), diviser K 
par 4(Y:..., Jn) à la condition de multiplier par la même fonction 
Y(Tisees Ja) toutes les quantités Y,; et alors la nouvelle valeur de K 
ainsi obtenue jouira de la propriété de se réduire à 1 quand on y fera 
æ, = x? . En comparant les formules (1) et (4), on aura donc l'identité 
X, dx, hé. -fe X Ala — K(Y, dy, +... + + Fer A Ya) 
où les valeurs de K, y; se réduiront respectivement à 1 et à x; quand on 
ferat,=2. 
» Faisons donc æ,=— x° et désignons par X? ce que devient X;. On aura 
X°dx, +... + dr. cms Yede, -+ ÿ .. + Yo dlni 
Y; désignant le résultat de la substitution de æ,,..., Sn à Yoo J 
