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variable, c'est-à-dire dans le groupe des substitutions 
(x iaat 
’cx+d 
Les uns, les groupes fachsiens, sont tels que a; b, c, d sont réels ou, plus 
généralement, que leurs substitutions conservent un certain cercle, appelé 
cercle fondamental ; les autres, que j'ai appelés leinéens, ne jouissent pas 
de cette propriété. On peut généraliser cette notion et se demander s’il 
n'existe pas de groupes discontinus contenus dans le groupe linéaire à deux 
variables, c’est-à-dire dans le groupe des substitutions 
(1) (x, EERI e 
ax + bye” aat byc 
» Dans une Note extrêmement intéressante, M. Picard a récemment 
donné un exemple d’un pareil groupe. Mon but est de montrer que d’autres 
considérations, arithmétiques, algébriques ou géométriques, permettent 
d'obtenir une infinité d'autres groupes discontinus. 
iA 1, Je supposerai d’abord que les coefficients des substitutions (1) sont 
réels et que leur déterminant est égal à 1. J'aurai ainsi des groupes analogues 
aux groupes fuchsiens à coefficients réels. Mais, parmi ceux-ci, il faut faire 
une distinction : les uns, comme ceux de la première famille, sont discon- 
"us pour toutes les valeurs imaginaires de la variable, mais cessent de 
l'être pour les valeurs situées sur l’axe des quantités réelles, qui est une 
ligne singulière essentielle; les autres, comme ceux de la troisième famille, 
pal discontinus pour les valeurs réelles comme pour les valeurs imagi- 
naires de x. Ce sont des groupes analogues à ces derniers que je vais d’abord 
chercher à former. Je vais chercher s’il existe des groupes de substitutions 
de la forme (1), à coefficients réels, qui soient discontinus pour les valeurs 
TE, à et de J, ce qui entraînera également la discontinuité pour les 
gtnaires de ces variables, au moins dans une certaine étendue. 
Ne dames un pareil groupe, il y a d’abord un moyen qui s'offre de 
* esprit. Considérons une forme quadratique 
2 
(2) F(x, 7,2) 
à coefficients entiers : 
à à ; elle admettra une infinité de substitutions semblables 
coefficients entiers 
(3 : 
Lys ax by + cz, ax + by + cz, ax + by + cs). 
C.R., 1882, je Semestre, (T. XCIV, N° 43.) 109 
