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Les substitutions correspondantes 
(x ax+by+e a) 
I» ax + bye”. az + b"y + c 
formeront un groupe discontinu. Si l’on suppose que les coefficients de la 
forme ( 2) et ceux des substitutions semblables (3), au lieu d’être des entiers 
ordinaires, sont des entiers complexes, on obtient encore de la sorte un 
groupe discontinu pour les valeurs complexes de x et de y. 
» 2. Je veux maintenant montrer comment, de chaque groupe fuchsien, 
on peut déduire un groupe formé de substitutions de la forme (1), à coef- 
ficients réels, et qui est discontinu pour les valeurs réelles et, par consé- 
quent aussi, pour les valeurs imaginaires de x et de y. Soit 
(4) (x, 7,3, ax +by+cz, ax +by + cz, a"x + by + cs) 
une substitution dont les coefficients sont réels, sans être nécessairement 
entiers, et qui reproduit la forme quadratique 
2? — AY, 
Considérons trois quantités réelles x, y, z, telles que 2° — xy soit négalil, 
et adjoignons-leur la quantité complexe £ définie par l'équation 
L+ azt + y = 0. 
A toute substitution linéaire 
(5) (: te 
Tyt+0 
dont les* coefficients sont réels, correspondra une substitution de la 
forme (4) et, par conséquent aussi, une substitution 
(6) J | az+ by +ec ce). 
à à II? ax + byte" ax + by he" 
» Si les substitutions (4) forment un groupe discontinu, c'est-à-dire un 
groupe fachsien G, les substitutions (6) correspondantes formeront un 
groupe discontinu G’, même pour les valeurs réelles de x et de J. Di reste, 
au lieu de la forme z2? — xy, on pourrait en considérer une infinité d k 
Au groupe G correspondait une subdivision de l’intérieur du cercle por j 
mental en une infinité de polynômes curvilignes R dont les côtés sas 
des circonférences coupant orthogonalement ce cercle. De meme, A 
groupe G’ correspondra une subdivision d’une certaine conique (que En 
pourra toujours réduire à un cercle) en une infinité de polygones recti 
