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» Considérons d’abord la quantité H (a); en vertu de la relation 
O(K--a)—8{(K+a), 
la formule de Jacobi donne immédiatement 
(ayi K E + pin, 
où p est un nombre entier qu’il s’agit de déterminer. Or, en supposant 
que a soit réel, l'intégrale est elle-même réelle, et, dans ce cas, on doit 
prendre nécessairement p =o. J'ajoute qu'il en est encore de même si 
l’on a 
a =p +.ig, 
p étant quelconque, et q compris entre — K’ et + K’, c’est-à-dire tant que 
le paramètre est représenté par un point compris entre deux parallèles à 
laxe des abscisses, menées à la distance K’ au-dessus et au-dessous de cet 
axe. Dans cet intervalle, en effet, la fonction I(a) est finie et continue, 
comme le montre la formule 
t f K r FRE 
Ha) den). RE jax, 
O(a) 2J, LO(z—a) O(x+a) 
» Plaçons-nous maintenant en un point quelconque du plan en chan- 
geant a en & + 2miK/, où m désigne un entier arbitraire. La fonction II(a) 
a pour période 2K et 2iK'; le nombre p. doit donc être tel qu’on ait 
@'(a + 2 miK') 
K O{a+2mikK) 
HIUr=RE, 
Cela étant, la relation 
(a+ 2miK')  @'(a) mir 
O(a+2miK') O(a) K 
nous donne sur-le-champ y =m. La première des intégrales complètes 
de troisième espèce est ainsi une fonction doublement périodique - la 
variable a, continue entre les parallèles au-dessus et au-dessous de l'axe 
des abscisses, aux distances K’, 3K',..., (2m —1)K de l'origine, so 
change brusquement de valeur, en s’augmentant de la constante 15, ist 
qu'on franchit une de ces droites en s’élevant au-dessus de l’axe. 
à ; i :dérant les 
» Ce résultat peut être obtenu d’une autre manière, en considéra 
