ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonctions uniformes doublement pério- 
diques à points singuliers essentiels. Note de M. AppreLL, présentée par 
M. Bouquet. 
« I. Soit un parallélogramme élémentaire formé avec les périodes w, 
w et, dans l’intérieur de ce parallélogramme, un cercle C dont le centre a 
pour affixe a; appelons espace E la portion du plan comprise à l'intérieur 
du parallélogramme et à l’extérieur du cercle C. Soit, en outre, f(x) une 
P , , 
fonction restant holomorphe dans tout l’espace E et admettant les deux 
périodes ù, w’, c’est-à-dire reprenant les mêmes valeurs aux points homo- 
logues des côtés opposés du parallélogramme. Désignons par Z(u) la 
dlog0,(u) 
du 
fonction » par æ un point fixe pris dans l’espace E, et par C’ une 
circonférence de centre & extérieure au cercle C, mais aussi rapprochée 
qu’on le veut de ce cercle, de telle façon que le point x soit à l'extérieur 
du cercle C. L'intégrale 
(1). [f{u)\Z(u — x)du, 
prise sur le contour du parallélogramme élémentaire, est égale, comme il 
est connu, à une Constante A, indépendante de x; d'autre part, Cue 
grale (1) se réduit à la somme de deux intégrales, l'une prise sur un petit 
cercle entourant le point x et égale à arif(æ), l’autre prise le long de la 
circonférence C’. On a donc l’équation 
Ao I 
(2) f(2)= = T ga J JOZ — x)du, 
l'indice C indiquant que l’intégrale est prise le long de la circonférence Ç. 
La fonction Z(u — x) est une fonction de u holomorphe à l’intérieur du 
cercle dont le centre est a, et dont le rayon est égal au module de x — 4: 
Cette fonction est donc, dans l’intérieur de ce cercle, développable en une 
série convergente ordonnée suivant les puissances de (u—a): 
(u — a) 
Z(u — x)=Z(a —x)+ 
Z'(a Lee, æ) kook w a)" Z(a— 2) +" 
F2. 
