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» Portant ce développement dans l'équation (2), on a 
; À + r 
Ja)= 2 + D AZ" (a — x), 
3 n=I: 
( ) : i ; Pr I a d"Z(u) 
ani ps Ju Edun AG) mas 
Le coefficient de Z(a — x) est nul; car ce coefficient est, à un facteur 
numérique près, égal à l'intégrale f f(u)du prise sur le contour du paral- 
lélogramme élémentaire. | 
» 2, Soit /(æ) une fonction uniforme doublement périodique n'ayant 
dans un parallélogramme élémentaire qu’un point singulier essentiel « et 
n'ayant pas de pôles. On peut alors, dans ce qui précède, supposer le 
rayon du cercle C de centre a aussi petit qu’on le veut, et, par suite, la 
fonction f(x) est représentée par la formule (3) pour toute valeur de v. 
On verra de même qu’une fonction uniforme doublement périodique 
ayant dans le parallélogramme des périodes n points singuliers à,, 
s, …., An, pôles ou points singuliers essentiels, peut être mise sous la 
orme 
k=nv-. k=n 
Ê + b b3 APZO(L — ar) ÿ'A EF y. 
k =i 
k=f s=o 
» 3. Le théorème de M. Mittag-Leffler peut être généralisé de la façon 
suivante. Soient &,, d, ..., Ay, .. des points tous différents situés dans 
un parallélogramme des périodes et tels que, pour » =% , lima,= a; 
soient, en outre, f(x, @), fa( X, &a), 1 J £r ds), ++. des fonctions mé- 
romorphes doublement périodiques ayant respectivement pour pôles les 
seuls points a, et a; il existe une fonction uniforme doublement pério- 
dique F(x) admettant le point a pour point singulier essentiel et les 
Points a, pour pôles, de telle façon que la différence F(x) —f(æ, ay) soit 
régulière au point a,. 
» La fonction f(x, a,) est de la forme 
k=n, kan, 
{(æ, ni >% APZ®(æ — a,) + p3 B?Z® (x —'a), 
k=0 k=0o 
la somme A! + Bý’ étant nulle. La démonstration du théorème repose sur 
= [s (E<1} 
TX — 
a, 
ce fait que, pour toutes les valeurs de z, telles que mod 
