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du cycle K relativement au:cycle K,. L’enveloppe des conjuguées harmo- 
niques des tangentes à K' relativement aux semi-droites fondamentales est 
un cycle K” et les deux tangentes communes à K et à K” seront les droites 
cherchées. 
» De là résulte en particulier un moyen facile de construire le cercle 
osculateur en un point a de la courbe. A désignant la tangente en ce point, 
construisons la tangente conjuguée A’, puis le centre G du cercle qui 
touche A’ et la courbe au point a; cela posé, x désignant le centre du cycle 
polaire de la tangente A, le centre du cercle osculateur cherché est le sy- 
métrique du point G relativement à z. Un hypercycle a un seul foyer F qui 
est un foyer singulier; la somme des distances du foyer à deux tangentes 
conjuguées quelconques est constante. 
» 15. Le cas particulier où les semni-droites A et B sont opposées mérite 
un examen particulier. L’hypercycle peut être défini comme une courbe 
de quatrième classe et du sixième ordre ayant trois tangentes doubles dont 
Pune est la droite de l’infini'et passant par les ombilics du plan, Les tan- 
gentes doubles sont des tangentes doubles apparentes; car, aux points de 
contact, la courbe a des directions opposées; en réalité, on doit les con- 
sidérer comme des tangentes distinctes, mais oppôsées. 
» Les quatre points doubles de la courbe déterminent trois couples de 
droites correspondant respectivement aux tangentes doubles; les deux 
droites dont l’ensemble correspond à la droite de l'infini sont les axes de 
la courbe et se croisent au point O, qui est l'intersection des semi-droites 
fondamentales, lesquelles passent d’ailleurs par les points de contact de la 
droite de l'infini avec l’hypercycle. 
» Soient A et B les deux autres tangentes doubles de la courbe et R ue 
point de rencontre ; la droite menée par le point O perpendiculairement à la 
bissectrice des semi-droites fondamentales (j'entends par là le lieu des centres 
des cycles inscrits dans ces deux semi-droites) rencontre respectivement 
A et B en deux points a et b dont le milieu est précisément le point 0. 
Désignons par æ et & les milieux des segments Ra et Rb, nous pourrons 
énoncer: la propriété suivante : Si une tangente à la courbe coupe AetB 
aux points g, et B, et si nous déterminons les points 4, et : qui sont res- 
pectivement les symétriques de x, et &, relativement à œ et p, la ssf 
droite æ, ff, est tangente à la courbe et est la conjuguée de an tan 
gente a, bi- pe 
» La tangente double A rencontre la courbe en deux points gras 
des points de contact; ces points sont équidistants du point « et a 
