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» Sans résoudre complètement ce difficile problème, les considérations 
qui suivent me semblent faire faire à la question un pas important; je me 
propose d'indiquer brièvement comment on peut, de la seule équation (1), 
déduire un système de deux équations aux différentielles totales, donnant, 
s'il est possible, les solutions cherchées. 
» Rappelons d'abord que, u, v et w étant trois fonctions abéliennes 
des deux variables x et y, et l'équation 
(11) TADE e 
étant la relation algébrique entre ces trois fonctions, le genre de la rela- 
tion (IL) est au plus égal à l'unité; c'est ce que j’ai montré dans une étude 
récente ( Mathematische Annalen, XIX Bd.). Plaçons-nous dans le cas où ce 
genre serait égal à l’unité ; il résulte encore du travail cité que l'on pourra 
trouver alors un polynôme Q (u, v, w) tel que l’expression 
CHER 
Q(z ? 9, w dr dy dy dx 
Swllt, 0, w) 
se réduise à une constante, et l’on peut considérer le polynôme Q comme 
connu quand la relation (11) est donnée. 
du 
. du r 
» Posons maintenant p = EY et Wwe J nous aurons les deux equa- 
tions 
Ji: fe ia © 
i, Je dy nas dé : 
du du ` 
Q(u,o0,w) (Ss w —— ES) va 
folu v w) pe 
a étant une constante. En différentiant la première de ces équations suc- 
cessivement par rapport à x et à y, et y joignant la seconde, nous pouvons 
d'u d'u du 
exprimer les dérivées secondes a dd op fonctions rationnelles de 
u, v,w. Or on a 
a; 
du Qu 
dr y dx +7 D 
du 
et 
d À du d 
: F% dr dy No 
et par suite, en résolvant par rapport à dx et dy et remplaçant les déri- 
vees partielles par leur expression en x, y et w, ‘on obtient le système 
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C. R., 1882, 1° Semestre. (T. XCIV, N° 48.) - 34 
