( 1039 ) 
`» Il existera, en général, deux fonctions fuchsiennes F (3) et F; (z), jouis- 
sant des propriétés suivantes : 
» 1° Elles n'existent qu'à l'intérieur du cercle fondamental. 
» 2° Si l’on fait œ =F (2), y =F, (z), la relation (2) est satisfaite. 
» -3° Quand z reste intérieur au cercle fondamental, le point analytique 
(x, y) ne peut passer par aucun point singulier de la seconde catégorie. 
» 4° Si (x, y) passe par un point singulier de la première catégorie, F (z) 
etF,(z) ont leurs z — 1 premières dérivées nulles, 
» Alors les intégrales de l'équation (1) sont des:fonctions zétafuchsiennes 
de-z. . 
» Supposons, en particulier, qu'il n’y ait pas de points singuliers de la 
première ni de la seconde catégorie, et que la relation (2) soit de genre p; 
le polygone R, correspondant à nos fonctions fuchsiennes pourra être 
amené à l’une des deux formes suivantes : 
» 1° Ou bien un polygone de 4 p côtés dont les côtés opposés sont conju- 
gués, et dont tous les sommets forment un seul cycle, de telle façon que 
la somme des angles soit égale à 27; } 
» 2° Ou bien un polygone de 4p côtés dont les côtés de rang 4q +1 et 
4q + 3 sont conjugués, ainsi que les côtés de rang 4q + 2et 4q + 4 (q étant 
un entier). Ici encore tous les sommets ne forment qu’un cycle, et la somme 
des angles est égale à 27. Cette forme de R, présente cet avantage que les 
différents côtés correspondent alors aux périodes normales des intégrales 
abéliennes de première espèce, et que la considération de ces fonctions 
fuchsiennes permet alors dé présenter d’une façon simple la démonstration 
des relations entre ces périodes. 
» Le polygone R, peut encore prendre une infinité d’autres formes se 
ramenant les unes aux autres. Je citerai, entre autres, dans le cas p = 3, le 
polygone de 14 côtés considéré par M. Klein. 
» Sip=1, nos fonctions F et F, se réduisent à des fonctions double- 
ment périodiques, de sorte que l’on retrouve les résultats connus sur l’in- 
tégration des équations linéaires par ces sortes de fonctions, et en particu- 
lier ceux de M. Picard. 
» On peut retrouver de même les résultats éonnus relativement à l'in- 
tégration algébrique de ces équations. Si ces équations admettent, en effet, 
des intégrales algébriques, les séries thétazétas, par lesquelles s'expriment 
nos fonctions zétafuchsiennes, se réduisent d’elles-mèmes à des séries théta- 
fuchsiennes : par conséquent, les intégrales v se ramènent à des fonctions 
fuchsiennes de z liées à æ par des relations algébriques, puisque noussavons 
