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GÉOMÉTRIE. — Sur une propriété du cercle; par M. G. Darnoux. 
« Dans ma dernière Communication, j’ai montré comment on étend 
les propriétés anharmoniques des coniques à certaines courbes unicur- 
sales dont la classe peut être un nombre quelconque. Je me propose de 
faire connaître maintenant d’autres courbes unicursales, comprenant les 
précédentes comme cas particulier, et auxquelles on peut étendre l’une des 
propriétés fondamentales du cercle. 
» On sait que, si l’on considère deux tangentes fixes d’un cercle et une 
tangente variable, et si l’on attribue des sens convenables à ces trois droites, 
le périmètre du triangle qu’elles forment est constant, On peut énoncer 
cette proposition sous la forme suivante : 
» Si une courbe est telle, que sa tangente forme avec deux droites fixes 
un triangle de périmétre constant, elle jouit de la même propriété quand 
on substitue aux deux droites une infinité d’autres systèmes de deux droites 
fixes. 
» Cette proposition admet la généralisation suivante : 
» Si l’on considère n couples de droites et une droite variable qui forme, avec 
les n couples, des triangles dont les périmètres ont une somme constante, celle 
droite variable enveloppera une courbe unicursale, qui conservera la même défi- 
nition quand on substituera aux couples primitifs n autres couples dépendant de 
deux paramètres arbitraires. 
» Les courbes auxquelles on est ainsi conduit peuvent être caractérisées 
de la manière suivante : Elles sont d’une classe quelconque, que je dési- 
gnerai par m; elles admettent la droite de l'infini pour tangente multiple 
d’ordre m — 2, et de plus elles coupent cette droite aux points à l'infini 
sur le cercle. Exceptionnellement elles peuvent admettre la droite de l'in- 
fini comme tangente multiple d'ordre m — 1, et se réduire aux courbes 
considérées dans ma dernière Communication. ; 
» Réciproquement, chacune de ces courbes admettra la génération pre- 
cédente; il faudra prendre z triangles si la courbe est de la classe Fe 
ou 27 — 1. Pour démontrer cette proposition, on est conduit à étudier 14 
question suivante : 
» Étant donnée une forme binaire homogène de degré 
deux formes de degré n + 1 dont elle soit la jacobienne. 
» Ce problème, que j'avais proposé à mes auditeurs, 
recherches profondes de l’un d'eux, M. Stéphanos, recherches qu 
pair an, déterminer 
a été l’objet des 
, qui ont êlé 
