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est entièrement déterminé par cette remarque qu’au point A la tangente est 
parallele à A. On voit par cette construction que deux semi-droites oppo- 
sées ont des cycles polaires opposés. 
» Les semi-droites fondamentales sont opposées et déterminées par la 
position de l’axe; deux tangentes conjuguées sont donc symétriques par 
rapport à laxe. 
» 18. Il ya un cas particulier remarquable, dans lequel il est évidem- 
mentimpossible de transformer un hypercycle en une parabole; c’est celui 
où son paramètre p est nul, La courbe est alors de la troisième classe et je 
la désignerai sous le nom d’hypercycle cubique; elle peut être définie comme 
une courbe de troisième classe ayant une tangente double, touchant la 
droite de l'infini et passant par les ombilics du plan. 
» Sa propriété caractéristique consiste en ce que tous les cycles polaires 
touchent une des demi-droites fondamentales P; celle-ci est elle-même tan- 
gente à la courbe, et je l’appellerai tangente fondamentale. L'autre semi- 
droite fondamentale est parallèle et de sens contraire à la tangente © à la 
courbe qui passe par le point de contact de celle-ci avec la droite de l'in- 
fini. 
» Un hypercycle étant défini par ses semi-droites fondamentales, une 
semi-droite À et son cycle polaire, cet hypercycle est de troisième classe si 
ce cycle polaire touche une des semi-droites fondamentales et tous les au- 
tres cycles polaires touchent également cette semi-droite. 
» Un hypercycle cubique étant donné, ses semi-droites fondamentales 
ne Sont pas déterminées. Prenons arbitrairement une tangente A à cette 
courbe, nous pourrons la regarder comme une tangente fondamentale et 
lui adjoindre une semi-droite A’ anti-parallèle à 6, de telle sorte qu’à chaque 
tangente T de la courbe en corresponde une autre T’ constituant avec 
celle-ci et le couple ( A, A’) un système harmonique. 
» Tous les théorèmes généraux donnés précédemment relativement à 
l'hy percycle général s'appliquent à l’hypercycle cubique, mais l'application 
peut en être faite d’une infinité de manières, puisqu'il y a une infinité de 
modes de groupement des tangentes. 
X L'hypercycle cubique se relie encore à la parabole d’une façon étroite; 
cest, en effet, une anticaustique par réflexion de parabole, les rayons inci- 
dents étant parallèles, et elle peut être d’une infinité de façons considérée 
comme une anticaustique d’une pareille courbe. 
» 19, Les Propositions relatives aux tangentes communes à un cycle et 
m hypercycle sont notablement modifiées quand la courbe est de la troi- 
