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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonctions fuchsiennes. 
Note de M. H. Poincaré, présentée par M. Hermite. 
« Parmi les fonctions fuchsiennes existant dans toute l’étendue du plan, 
et dont j'ai parlé à la fin de ma dernière Communication, il en est un cer- 
tain nombre sur lesquelles je voudrais attirer particulièrement l'attention. 
Considérons dans le plan des z l’axe des quantités réelles et 27 + 1 points 
À ,, A2... An, C Bi, Ba, «.., B,. Les points À, et R, sont situés sur l'axe 
des quantités réelles, les autres sont au-dessus de cet axe. Joignons les 
points 
A, åa, A°Â3; A,A,» preg A; Ans ÀnC, CB,, Ba Bei; rs B, B2, B+B, 
par des arcs de cercle ayant leurs centres sur l’axe des quantités réelles. 
» On obtiendra ainsi un certain polygone curviligne 
AANA OBE B, e BB, 
dont tous les côtés seront des arcs de cercle ayant leurs centres sur l’axe des 
quantités réelles, excepté le côté A,B,, qui sera un segment de cet axe. 
Quant au sommet C, on peut, pour plus de symétrie, dans les énoncés, le 
considérer comme appartenant soit à la série des points A avec la notation 
A„+1, soit à la série des points B avec la notation B,.,. 
» J'appelle D; et D; les intersections de l’arc A;A;,, prolongé avec l'axe 
des quantités réelles; E;, E; les intersections de cet axe avec l'arc B;B;:1: 
» Je suppose : 
» 1° Que le rapport anharmonique des quatre points D;, Dj, Aj, Aj, SUP 
le cercle D,D'A;A;., est égal à celui des quatre points E;, E;, B;, B;,, SUT le 
cercle E;E;B;B,;., ; 
» 2° Que les angles curvilignes A; + B; sont des parties aliquotes de 27, 
ainsi que l’angle curviligne C. 
» Dans ce cas, il existe une substitution linéaire 
(z> aE > DL 
Jiz + ĝi 
dont les coefficients sont réels, et qui change A;A;., en B;B;... 
» En combinant ces z substitutions, on obtient un groupe discontinu, €! 
ce groupe donne naissance à une infinité de fonctions fuchsiennes qui 
jouissent des propriétés suivantes : 
u,el 
