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les n(5m) inconnues x,7,2,...,8,1,...,u,0: 
a£ + by + ezt.. gS + htt.. iu+ij,v k =o, 
( 1) Tr de UN RS CU Rd ons eee » À 64 dés » UNS 6 8 à UE D CES $ 
AmE + bmY + Cons ++ gms + hmt +, + imt + jmo + En = 0, 
assigner, quand il en existe, tous ses systèmes de solutions entières. 
» On peut supposer que les déterminants d'ordre m formés par une com- 
binaison quelconque de m colonnes du tableau des coefficients 
2,5#1;08 e.. Bi s vs injik 
(2) vs ser se ie LE] s... s... ùes} PNR E n a s.: 
Ans bm, Cms e3 Sm Ps s…s films ki 
ne sont pas tous nuls, car, autrement, on pourrait réduire le système (1 ) à 
un autre équivalent à coefficients entiers, qui contiendrait moins d’équa- 
tions et ne présenterait pas cette particularité. Cela posé, la solution du 
problème résulte de la proposition suivante : 
I 
» Nommons indéfiniment (K ) les déterminants formés par las- 
n: 
m!(n — m)! 
sociation de m quelconques des n premières colonnes du tableau (2), et (k) les 
(n —a)! 
m!(n— m — i)! 
nière colonne de ce tableau avec m — 1 quelconques des n premières. 
» Pour que le système (1) admette quelque système de solutions entières, il est 
nécessaire et suffisant que le plus grand entier positif d qui divise tous les déter- 
minants (K ) divise aussi tous les déterminants (k). Cette condition étant remplie, 
tous les systèmes de solutions sont donnés, chacun une seule fois, par des formules 
déterminants de méme ordre formés par l'association de la der- 
DE + 2,0, + Li ++ dr m0 m 
F=n+ Jib, EI E.. t Jo-mônm 
(3) S= + àa + 202 E Sn 01m 
E= T + Re 1203 +.. a 2e es 
p= + vO + pra +... + que 
dans lesquelles toutes les lettres désignent des entiers précisant les propriétés sui- 
vantes : 1° les n — m nombres 0 sont absolument indéterminés; 2° le déterminant 
de n — m colonnes quelconques du tableau 
Li Jsi Zys vue Si; Éis .., Pis 
Ln—ms Yn-m? Zn--m9 ….) Sym biim +) Pam 
