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nous aurons, pour f(x), le développement en série suivant : 
M =A, Dep Me fee) Sieds, 
`k 
développement valable pour tous les points de l'aire S. 
» Mais il se présente, au sujet de la série (4), une remarque intéressante, 
Imaginons que l’on décrive en entier les cercles auxquels appartiennent 
les arcs C,, C3, ..., Cng désignons par T l'aire indéfinie située à l'extérieur 
de tous ces cercles. La série qui forme le second membre de l'équation (4) 
est encore convergente si + est un point de l'aire T; mais alors la somme 
de cette série est égale à zéro. En effet, si x est un point de l'aire T, l'in- 
tégrale (1), étendue au contour de l'aire S, est nulle; d’ailleurs les déve- 
loppements (3) et (4) sont encore convergents, car l'égalité (2) a toujours 
lieu. 
» On a ainsi une série de fractions rationnelles qui est égale à /(x) 
dans laire S et à zéro dans laire T. On pourrait de même former une 
série de fractions rationnelles égale à une fonction holomorphe ọ( æ) dans 
laire T et à zéro dans l'aire S. La somme de ces deux séries représente 
f(x) dans S eto(x) dans T. M. Weierstrass a déjà obtenu par d'autres 
considérations des séries de fractions rationnelles possédant des propriétés 
analogues (Monatsbericht der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 
août 1880). 
» Les résultats précédents peuvent être étendus au cas où l'aire consi- 
dérée limitée par des arcs de cercle ne serait plus à contour simple, et où 
certains des arcs limites tourneraient leur concavité vers l'intérieur de 
l'aire. 
» H. Développement d’une fonction en série de fonctions doublement pério- 
diques. — Considérons un réseau de parallélogrammes de côtés w et w’; 
supposons que l'aire S définie précédemment soit située tout entière à 
l'intérieur d’un des parallélogrammes; supposons, en outre, qu’en con- 
struisant les aires S', 5”, ..., homologues de S dans les autres parallélo- 
grammes, il arrive qu'aucun des cercles auxquels appartiennent les 
arcs C,, Ca, ..., C, n’empiète sur ces aires S’, S”, ..… On pourra toujours 
réaliser ces conditions en prenant les côtés des parallélogrammes suffi- 
samment grands. 
» Soient alors f (z) une fonction holomerphe dans l'aire S, x un point 
de cette aire, 0, (z) la fonction 9, formée avec les périodes w et w', et 
0 
C. R., 1882, 1°° Semestre. (T. XCIV, N° 18.) 16 
