( 1940 ) 
Z(z) — ee L'intégrale AZ = x)dz étendue au contour de 
l'aire S est égale à 2r1/(x). Partageons cette intégrale en n parties rela- 
tives aux n arcs C,, C,, ..., C,. Pour toutes les valeurs de z situées sur 
l'arc C;, Z(z — x) est représenté par la série uniformément convergente 
v=o 
(5) ter gal pt ei Zu) = 
PE 
ÜZ (u) 
du 
v=o 
» Remplaçant dans chacune des intégrales partielles Z(z — x) par la 
série correspondante (5), nous aurons le développement suivant : 
k=R v=æ 
Nas J= S y Aom a). 
k 
» La somme AP- A +, + A," est nulle, car elle est égale, au fac- 
teur 271 prés, à l'intégrale fraa prise sur le contour de Paire S. Les 
deux membres de l'équation (6) ont la même valeur en tous les points de 
laire S; mais, sauf dans le cas particulier où f(æ) admet les périodes w 
et w’, ils différent dans les aires S, S”, ..., homologues de S, car le 
deuxième membre admet toujours ces deux périodes. 
» II. Développement d'une fonction en série de fonctions simplement pério- 
diques. — La considération de l'intégrale GE f(z) cot g=(z — æ)dz, étendue 
au contour de l'aire S, conduit de même au développement de f\x) en 
série de fonctions admettant la période w, 
» IV. On peut, par les mêmes méthodes, traiter la question plus géné- 
rale du développement d’une fonction holomorphe dans l'aire S en série 
de la forme 
K=ny= æ% 
Ttg ex) 
(k) 
> DA rs 
As 
où 4 (z) désigne une fonction uniforme donnée qui a pour pôle simple 
le point z = o et qui possède une infinité d’autres pôles distribués d’une 
façon quelconque dans le plan, » 
