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GÉOMÉTRIE. — Sur la représentation sphérique des surfaces. 
Note de M. G. Darsoux, 
« Dans ma première Communication sur ce sujet, j’ai établi le théorème 
suivant : 
» Considérons une équation aux dérivées partielles 
(1) LR P a a A de < 
1 
où À, B, C sont des fonctions quelconques de p, p,, et supposons que l'on con- 
naisse quatre solutions particulières de cette équation, liées par une relation 
homogène du second degré. On pourra toujours, en combinant linéairement ces 
solutions, ramener celte relation à la forme 
(2) u+ + mt p., 
» Cela posé, les équations 
ve. Fe LA 
ar Se RP 
définissent loujours un système sphérique orthogonal (A), formé des lignes 
RES SP ER 
De plus, si 9 désigne une solution nouvelle quelconque de l'équation (1), le plan 
uX +vY-+w2Z+6—0o 
enveloppera, quand p et p, prendront toutes les valeurs possibles, une surface 
dont les lignes de courbure auront pour image sphérique les courbes du système 
orthogonal (A). 
» Ce théorème est très fécond, et je vais montrer qu'il permet de déter- 
miner, dans un nombre illimité de cas nouveaux, toutes les surfaces ayant 
une représentation sphérique donnée. 
» Supposons, en effet, que l’équation aux dérivées partielles (1) Lie 
tienne à la classe, si nombreuse, de celles qui admettent quatre solution 
particulières de la forme 
Z= A,B, z= A,B}, Z= AB Z= ABa 
, . ; -ons particulières 
où A,, A, sont des fonctions d’une seule variable, solutions pa 
