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d'une même équation linéaire du second ordre, et B,, B, des fonctions 
d’une autre variable, définies également par une équation linéaire du se- 
cond ordre. Il est clair que les quatre solutions particulières précédentes 
sont liées par la relation du second degré 
Zi, = Zoly; 
et l’on pourra, par conséquent, appliquer le théorème fondamental. 
» Je considère, en particulier, l'équation 
3) Sn = latip) pla i 
( gade — LFP) pue ps 
où i désigne y— 1. Elle admet évidemment comme solution particulière 
le produit d’une fonction P de « + iĝ par une fonction Q de g — if, et, si 
l’on prend pour P,, P, les intégrales de l’équation 
(4) P= P[f(a+iB)+ m], 
où m désigne une constante, et pour Q,, Q, celles de l'équation 
Q"= Q[p(a — i)+ m], 
on verra facilement que les quatre solutions suivantes de l'équation (3), 
uz P,Q;+P,Q, w=P,Q,—P,Q:; 
p—i(P,Q;—P,Q.), p = PQ, + PQ, 
satisfont à la relation (2) et, par conséquent, définissent un système sphé- 
rique orthogonal. Si les fonctions f et ọ sont imaginaires conjuguées, et si 
Q,, Q, sont les solutions respectivement conjuguées à P,, Pa, ce système 
sera réel, et il est aisé de voir qu’il sera isotherme. Un tel système est défini 
dès que l’on connaît la fonction f + m et les solutions particulières P,, Ps 
Si l’on remplace P,, P, par d’autres solutions de l'équation (4), on obtient 
les systèmes qui se déduisent du premier par des inversions. Nous dirons 
dans la suite que tous ces systèmes, qui jouent un rôle équivalent dans la 
question qui nous occupe, correspondent à l'équation linéaire 
(5) 
y'= y[f(x) + m], 
3 La . , r . 
que l’on déduit de l’équation (4) en remplaçant & + if par x. 
> On peut ramener à la forme (3) une équation bien connue, et qui se 
Présente soit en Géométrie, soit en Physique mathématique; c'est la sui- 
