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vante : 
d?z BAL mim+i) 
dp dp (e—p:) 
> 
“v. 
Elle offre un réel intérêt au point de vue de l’histoire de la Science. Son 
intégration, donnée par Euler pour m entier, a mis pour la premiere fois 
en évidence ce fait que l'intégrale générale d’une équation du second 
ordre peut contenir des fonctions arbitraires, entrant avec leurs dérivées 
jusqu’à un ordre quelconque. Poisson en a donné, pour toutes les valeurs 
de m, une intégrale où les fonctions arbitraires entrent sous le signe de 
l'intégration définie. Si l’on y remplace p par une fonction A d’une nou- 
velle variable &, et p, par une fonction B d’une nouvelle variable B, elle 
prend la forme 
d?z mm +1)A'B. 
TS d 
En cherchant si l’on peut ramener cette dernière équation à la forme (3), 
nous sommes conduit à un problème qui se présente sous une autre forme 
dans la Géométrie de la sphère, et dont on obtient les trois solutions sui- 
vantes : 
i A= 0, B=- p, fx) =", 
0 . + 
49 Asn°a, B — sin” if, f(x) = "EE, 
3 A=s'(a+iK), B = snif, f(x) = m(m+1)Æsnx, 
la dernière comprenant les précédentes comme cas limites. La conclusion 
de cette recherche est donc la suivante : a 
» On saura trouver toutes les surfaces ayant pour représentation sphérique 
les systèmes isothermes correspondant aux trois équations 
x: FRIN E à 
ét ou mn | 
Fr [tr] 
J'=y{m(m + i)k’ sn’ x + A], 
dont la dernière est l'équation de Lamé. Les formules d'intégration ARR 
la surface ne contiendront les fonctions arbitraires sous aucun signe d'intégran 
définie, tant que m sera entier. 
» Cette proposition comprend tout ce que lon sait relative -a 
surfaces à lignes de courbure planes, à celles dont la représentatio 
ment aux 
