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GÉOMÉTRIE. — Sur la représentation sphérique des surfaces. 
Note de M. G. Darsoux. 
« Dans ma dernière Communication, j’ai montré que, si l'on sait intégrer 
l'équation 
g'z ; e ; 
(9 jeu = ille + iB) — pa — i8)}s, 
on pourra obtenir toutes les surfaces dont les lignes de courbure ont pour 
image sphérique l’un quelconque des systèmes orthogonaux correspondants 
à l'équation 
(2) L TLESTA 
» Je vais compléter aujourd’hui ce résultat en établissant que l’on peut 
déduire de l’équation (1) une suite illimitée d’équations de même forme, 
et qui seront toutes intégrables dès que l'équation (1) le sera elle-même, Je 
m'appuierai pour cela sur la belle proposition suivante, que l’on doit à 
M. Moutard : « Toutes les fois que l’on sait intégrer l’équation 
3 Ar 
) da 08 Àz, 
on sait aussi trouver l'intégrale de l'équation 
0? (: 
d?z S 
(4) 0206 — ” 0208 ” 
où désigne une solution particulière quelconque de l'équation (3). » 
» Appliquons ce résultat aux équations de la forme (1), mais choisissons 
la solution parmi celles qui sont de la forme : 
w= ĝ(a + iß)o(a— if); 
nous serons ainsi conduits à l'équation 
5) ESSEN T DA be de a À 
L ) dx 08 mi d 9 = 7 A 
qui est de la même forme que l'équation (1). Nous pouvons donc énoncer 
a Proposition suivante : 
» Toutes les fois que l’on saura résoudre le problème de la représentation 
C. R., 1882, 1® Semestre. (T. XCIV, N° 20.) i 
