(1405) 
défini en fonction de x par une relation algébrique 
fiti 3) =.0. 
Je dirai que ces deux équations sont de même famille, si l'intégrale générale 
de la seconde peut se mettre sous la forme 
y riy 
l 
d" € dy 
ni es dent + Qu dx"? Ed à Q, pE 7 Quy) ? 
y étant l'intégrale générale de la première, les Q étant dés fonctions ra- 
tionnelles de x et de z, et A une fonction quelconque de ces variables. 
Supposons que les fonctions P et P’ soient de degré déterminé, de façon 
que leurs coefficients soient en nombre limité. Il y aura certaines fonctions 
de ces coefficients qui auront la même valeur pour toutes les équations 
d'une même famille, Je les appellerai invariants de famille. 
» Pour montrer comment on peut déterminer et étudier les invariants 
de famille, je vais prendre l'exemple simple de l'équation 
(1) 2% +0y= 0, 
ô étant une fonction rationnelle de x seulement. Je suppose que les inté- 
grales de cette équation soient partout régulières et sans logarithmes. 
Parmi les infinis de 9, je distingue ceux pour lesquels la différence des 
racines de l'équation déterminante n’est pas un entier et qui sont les points 
singuliers proprement dits, et ceux pour lesquels ceite différence est un 
entier et que j'appellerai points singuliers apparents. Je supposerai que le 
point æ est un point singulier, et qu’il y a, en outre, K points singuliers 
à distance finie. Je dirai que deux équations de la forme (1) appartiennent 
à la même classe si les points singuliers sont les mêmes et si, pour chacun 
d'eux, la différence des racines de l'équation déterminante est la même à 
un entier près. Je supposerai, pour éviter une discussion qui ne présente, 
d’ailleurs, aucune difficulté, que cette différence est la même dans nos 
deux équations pour chaque point singulier, et qu’elle est égale à 2 pour 
chaque point apparent. Cela posé, toute classe se divisera en deux sous- 
classes, selon que le nombre des points apparents sera pair ou impair. 
» Étant données deux équations de la même sous-classe, combien faudra- 
t-il de conditions pour qu'elles soient de la même famille? En d’autres 
termes, combien y aura-t-il d'invariants de famille en dehors de ceux qui 
déterminent la classe? Il y en aura 2K — 4. 
